Используя ранее приведенное обозначение, это можно записать так:

\f(X)o\X = [F(X)l , (3.71)

где F(X) - первообразная функции Y = f[X).

Покажем это на примере функции Y= Л4 + ЪХ- 3. Нам нужно вычислить площадь под кривой между X = 3 и X = 6, точнее

\{х* + ЗХ - 3)(УГ. (3.72)

Первообразная этой функции

X5 ЗХ2

5+- 2

- ЗХ

(3.73)

При определении значения функции между X = 3 и J = б получаем

Длг4 + ЗЛГ - з)сУГ =

Л° ЗА

- ЗХ

(3.74)

Теперь подставляем 6 вместо Лв правую часть уравнения (3.74):

(3.75)

б5. + 3(6)i 3(6) = 2?i + M-18 = 1591,2.

5 2 5 2

Подставляем 3 вместо Jb правую часть уравнения (3.74)

243 27

(3.76)

Площадь под кривой будет равна разности между (3.75) и (3,76), т.е. 1591,2-53,1 = 1538,1 кв.ед.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найдите первую производную по Y следующих функций по X:

Y=X2, Y=XX\

Y= СХ,

Y=X-\

Y=XX2.

2. Найдите первую производную по У следующих функций по X.

У=3*3 + 4*5, Y=5X+4X2,

Y=3XS-2X2, r=Jf3-3*2.

3. Найдите первую производную по У следующих функций по X:

r=Jf2(*+2)3, . * У=(ЗЛ+2)2Л3, У= ; У= X3*,

Y=X3e3X, Y=Xhi(X),

Y=X2(X + 2)3z2X.

Примечание: сначала повторите правила дифференцирования степенных и логарифмических функций.

4. Найдите первую производную по У следующих функций по X:

Y Ж у= ln(Jf)

Х + 2 Х2(Х + 2)3

5. Найдите первую производную по У следующих функций по X:

Y=(X2 + 2)3, У=(3*2 + 5)4,

Y=ex2{X+2)\ У=1п(ЗЛ).

Проверьте правильность последнего решения, построив графики функций У= 1п(Л) и У = ЩЗХ).

6. Найдите первую производную по У следующих функций по X:

0+J0 (1 + Xj*

1 2Х

(1 + X)10 (1 + Х)г

7. Найдите вторую производную по У следующих функций по X от функций в пп. 1 и 2.

8. Вычислите стоимость трехлетней купонной облигации с совокупной доходностью 7,5% годовых. Используйте разложение рядов Тейлора для определения стоимости облигации, если доходность станет 7,6%.

9. Трехлетняя облигация с ежегодным купоном, равным 10, и с номиналом, равным 100, имеет текущую совокупную доходность 8% годовых. Используя разложение рядов Тейлора, определите стоимость облигации, если доходность станет 8,1%.

10. Используя денежные потоки из п. 9, рассчитайте модифицированную дюрацию и выпуклость облигации.

11. Найдите максимум функции Y= 2Х2 + ЗХ.

12. Найдите полный дифференциал функции:

Г= X3 + 4Х2 + Z2.

13. Найдите максимум функции:

R = ЗХ + X2-2Y при условии, что 2Х+ Y= 5.

14. Найдите первообразные следующих функций:

X3, е2*

1 ЫХ

(1 + хГ х

X2, ех\ Хъ*2 .

Для четвертой функции используйте производную от (1пА)2, для функций в нижней строке используйте производную от ех .

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ

И ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Hunt, R. (1994) Calculus of Single Variable. HarperCollins, New York.

Larson, R. E., Hostetler, R. P., Edwards, B.H. (1994) Calculus. D.C. Health, Lexington, MA.

Macaulay, F.R. (1938) Some Theoretical Problems Suggested by Movements in Interest Rates, Bond Yields and Stock Prices in the US since 1856. National Bureau of Economic Research, New York.

Watsham T.J. (1993) International Portfolio Management: A Modern Approach. Longman, London.

ОТВЕТЫ

1. 1; С; 2X; -4X~5