назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [ 52 ] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]


52

рирования, обычно прибавляется к результату интегрирования. Именно по причине того, что величина С не определена, этот вид интегрирования называется неопределенным.

Таким образом, правило интегрирования степенной функции можно отобразить в следующем виде: прибавить единицу к показателю степени, разделить на первую экспоненту и прибавить константу, т.е.

г У"+1

\X"dX = --- + С . (3.63)

J л + 1

Нахождение плошади под кривой

Для нахождения площади под кривой мы можем использовать то, что только что узнали о неопределенных интегралах. Однако перед этим мы должны ввести новую концепцию -концепцию первообразной.

Первообразная - это функция F, первая производная которой равна функции / Таким образом, если 2Х - это первая производная от X2, то X2 является первообразной от 2Х. Выше мы уже рассмотрели, как взять неопределенный интеграл. Можно воспользоваться этим при нахождении первообразной, поскольку неопределенный интеграл и является первообразной этой функции. Таким образом, первообразная 2Х будет

а первообразная X2:

x = xl

2 + 1 3

Довольно скоро понятие первообразной понадобится нам, а пока мы ненадолго оставим эту тему.

Теперь рассмотрим рис. 3.5. Диагональная линия определяется функцией Y - X. Площадь квадрата OaMi равна X2, где X = Ху. Площадь треугольника ОЬХу должна быть равна половине площади квадрата, т.е. Х?-/2. Например, если X- 2, площадь под кривой между 0 и X = 2 будет 22/2 = 4/2 = 2.



Рис. 3.5

Затем рассмотрим прямоугольник QcdX2. Площадь опять будет X2, при X- Xi, площадь треугольника будет X1/!.

Теперь рассмотрим площадь многоугольника X\bdXi. Она равна разности площадей двух треугольников: ЫХ2-ЪЬХ\. Мы можем рассчитать площадь многоугольника, вычислив площадь каждого из треугольников и вычитая меньшую из большей. Однако существует более легкий способ, который также применим к случаям, когда график функции не является прямой. Этот способ использует концепцию первообразной, рассмотренную выше. Как уже выше сказано, график прямой линии описан функцией Y = X и независимо от значения X, площадь двух треугольников выражена функцией Х2/2. При этом Х2/2 является первообразной от X. Так как X - Xх, мы можем показать это следующим образом:

Х1+] X2

первообразная от X =-= -.

1 + 1 2

Таким образом, мы можем найти площадь под кривой между Х\ и Х2 путем нахождения первообразной от X, выразив первообразную в значениях Х\ и Х2 и затем вычитая из большего значения меньшее.

Указание на взятие интеграла с использованием первообразной функции J[X) обычно обозначается так:

J/(x)dJf = [F(X)fj , (3.64)

где j и к - нижнее и верхнее значения по X интегрируемой функции.



Сначала для X = 2 мы получим

Затем для Х= 4:

Отсюда площадь под кривой будет

8-2 = 6.

Мы можем проверить это, обратившись к рис. 3.5. Площадь греугольника OdXi при X = 4 будет 42/2 = 8. Площадь треугольника ОЬХ при JST = 2 будет 22/2 = 2.Вычитая из площади тре-дольника 0dX2 площадь треугольника 0ЬХ\, получим 8-2 = 6. Гот же самый результат получен при помощи первообразной.

Теперь рассмотрим другую линейную функцию, Y = 4Х, график которой изображен на рис. 3.6.

Рис. 3.6

Теперь предположим, что j = 2 и к = 4. Мы знаем, что первооб-азная от X - это X2/!. Отсюда для нахождения площади под кри-ой Y = Xмежду Х= 2 и К = 4 мы определим следующий опреде-енный интефал, подставляя значения Хв первообразную:

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [ 52 ] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]