рирования, обычно прибавляется к результату интегрирования. Именно по причине того, что величина С не определена, этот вид интегрирования называется неопределенным.
Таким образом, правило интегрирования степенной функции можно отобразить в следующем виде: прибавить единицу к показателю степени, разделить на первую экспоненту и прибавить константу, т.е.
г У"+1
\X"dX = --- + С . (3.63)
J л + 1
Нахождение плошади под кривой
Для нахождения площади под кривой мы можем использовать то, что только что узнали о неопределенных интегралах. Однако перед этим мы должны ввести новую концепцию -концепцию первообразной.
Первообразная - это функция F, первая производная которой равна функции / Таким образом, если 2Х - это первая производная от X2, то X2 является первообразной от 2Х. Выше мы уже рассмотрели, как взять неопределенный интеграл. Можно воспользоваться этим при нахождении первообразной, поскольку неопределенный интеграл и является первообразной этой функции. Таким образом, первообразная 2Х будет
а первообразная X2:
x = xl
2 + 1 3
Довольно скоро понятие первообразной понадобится нам, а пока мы ненадолго оставим эту тему.
Теперь рассмотрим рис. 3.5. Диагональная линия определяется функцией Y - X. Площадь квадрата OaMi равна X2, где X = Ху. Площадь треугольника ОЬХу должна быть равна половине площади квадрата, т.е. Х?-/2. Например, если X- 2, площадь под кривой между 0 и X = 2 будет 22/2 = 4/2 = 2.
Рис. 3.5
Затем рассмотрим прямоугольник QcdX2. Площадь опять будет X2, при X- Xi, площадь треугольника будет X1/!.
Теперь рассмотрим площадь многоугольника X\bdXi. Она равна разности площадей двух треугольников: ЫХ2-ЪЬХ\. Мы можем рассчитать площадь многоугольника, вычислив площадь каждого из треугольников и вычитая меньшую из большей. Однако существует более легкий способ, который также применим к случаям, когда график функции не является прямой. Этот способ использует концепцию первообразной, рассмотренную выше. Как уже выше сказано, график прямой линии описан функцией Y = X и независимо от значения X, площадь двух треугольников выражена функцией Х2/2. При этом Х2/2 является первообразной от X. Так как X - Xх, мы можем показать это следующим образом:
Х1+] X2
первообразная от X =-= -.
1 + 1 2
Таким образом, мы можем найти площадь под кривой между Х\ и Х2 путем нахождения первообразной от X, выразив первообразную в значениях Х\ и Х2 и затем вычитая из большего значения меньшее.
Указание на взятие интеграла с использованием первообразной функции J[X) обычно обозначается так:
J/(x)dJf = [F(X)fj , (3.64)
где j и к - нижнее и верхнее значения по X интегрируемой функции.
Сначала для X = 2 мы получим
Затем для Х= 4:
Отсюда площадь под кривой будет
8-2 = 6.
Мы можем проверить это, обратившись к рис. 3.5. Площадь греугольника OdXi при X = 4 будет 42/2 = 8. Площадь треугольника ОЬХ при JST = 2 будет 22/2 = 2.Вычитая из площади тре-дольника 0dX2 площадь треугольника 0ЬХ\, получим 8-2 = 6. Гот же самый результат получен при помощи первообразной.
Теперь рассмотрим другую линейную функцию, Y = 4Х, график которой изображен на рис. 3.6.
Рис. 3.6
Теперь предположим, что j = 2 и к = 4. Мы знаем, что первооб-азная от X - это X2/!. Отсюда для нахождения площади под кри-ой Y = Xмежду Х= 2 и К = 4 мы определим следующий опреде-енный интефал, подставляя значения Хв первообразную: