<ой-либо переменной, остальные переменные рассматриваются как «шстанты. Таким образом, для взятия частных производных от

Y=X1 + 2Z3 + Z2 (3.47)

«ы находим dY/dX, принимая Z3a константу, и dY/dZ, принимая Хза. константу. Например

дх 2Х

§=6Z> + 2Z

Теперь рассмотрим функцию трех переменных Y=X4+ W3X + XZ-4Z3,

Ц-=4*3 + W3 + Z,

j=W2X, (3.48)

?L=X-\2Z\ dZ

Полученные результаты говорят, что dY/dX показывает, что по мере возрастания X Убудет увеличиваться на (4Х* + + Z) ЗХ. Если возрастает W, то У возрастает на 3№Х • д W, и если увеличиваемся Z, го Гви-ipaciaei на (X-12Z2) BZ.

Вторые производные cPY/dX2, д2 Y/д W2 и cPY/dZ2 показывает, как ведут себя предельные изменения У, когда X, W или Z изменяются, но остальные две переменные остаются постоянными.

Если же мы хотим узнать, как изменяется д Y/д W при изменении X, мы берем производную д У/9 W по X. Это записывается как Ф-Y/dXdW, т.е. показывается, что мы хотим найти, как изменяется 3Y/8W при изменении X. Аналогично, если мы хотим найти влияние изменения Z на dY/dW, мы должны найти c-Y/dZdW. Запись эбозначает, что мы берем производную д Y/д W по Z, т.е. 8Z.

Можно также использовать обозначение d/dZ, чтобы показать, что мы берем производную по Z

Полный анФФеренинал

Полный дифференциал объясняет, как изменяется Y при изменении всех независимых переменных. Рассмотрим еще раз Y = j\W, X, Z). При малых изменениях независимых переменных • *

"WW--

Заметьте, что 5х или АХ используется для обозначения малого изменения X.

Для обозначения того, как Y изменяется в ответ на одновременное изменение всех аргументов, мы сложим произведения частных производных на малые изменения соответствующих переменных. Полное уравнение выглядит следующим образом:

где Д Y известно как полный дифференциал. Для примера снова обратимся к функции

Y - X4 + W*X + XZ-4Z3; - = 4Х3 + W3 + Z;

Полный дифференциал функции выглядит следующим образом:

ДГ= + (4*3 + W3 + Z)(AX) + (,3W2X)(AW) + (X-UZ2)(AZ).

Максимумы п минимумы Функиии нескольких переменных

При рассмотрении этой темы ограничимся разбором случая функции двух переменных. Пусть это будет функция J[X, Y). Теперь мы можем найти две частные производные и четыре вторые частные производные:

а/ а/ „

dXdY

а2/ а2/ а2/

дХ2 dY2 дШдХдУ

(3.50)

(3.51)

При этом заметим, что

а2/ а2/

дШ dXdY (152)

В случае с двумя переменными существуют три типа экстремумов - локальный максимум, локальный минимум и седловина, схожие с наивысшими точками горных перевалов - горные пики по сторонам и долины спереди и сзади.

Условия для так называемых "сильных экстремумов" следующие.

Локальный максимум

Критерием для локального максимума является равенство первых производных нулю, т.е.

дХ dY

Кроме того,

а2/ эх2

<о,

а2/ а2/

дХ2 dY2

{dXdYJ

(3.53)

(3.54)

Локальный минимум

Критерием для локального минимума является равенство первых производных нулю, т.е.

дХ dY

(3.55)