Если признаком всех экстремумов является равенство нулю первой производной, то как определить, является ли данная точка максимумом, минимумом или точкой перегиба, не пользуясь при этом рисунком графика функции?

Ответ дает вторая производная. Когда dY/dX = 0 и вторая производная больше нуля, dlY/dX2 > 0, точка является минимумом. Если же dY/dX = 0"и вторая производная в этой точке меньше нуля т.е. dtY/dX2 < 0, то точка является максимумом. Чтобы понять это, вспомним, что вторая производная показывает, как изменяется первая производная. Теперь посмотрим, что происходит с первой производной в точке А. Слева от точки А производная выше нуля, а справа ниже, таким образом, в точке А значение первой производной меняется с положительного на отрицательное, изменение отрицательное, следовательно, и вторая производная меньше нуля.

Рис. 3.4. Максимумы и минимумы

Теперь посмотрим, что происходит в точке В. Слева от точки первая производная меньше нуля, справа - больше, само изменение положительно, таким образом, и вторая производная больше нуля.

Если же и первая и вторая производные равны нулю, то данная точка является точкой перегиба. Чтобы понять это, снова взглянем на рис. 3.4. В точке С первая производная равна нулю. Слева от точки она меньше нуля, а справа - больше, но в точке С она равна нулю. Таким образом, точки перегиба - это точки,

dY/dX=0 u2Y/dX=0

"В" dK/d#=0 d2Y/dX>=0

где обе производные - и первая и вторая - равны нулю, но вторая меняет знак.

Итак, мы можем вывести несколько правил по определению максимумов, минимумов и точек перегиба:

1. Любая точка, где dY/dX = 0, является либо локальным минимумом, либо локальным максимумом, либо точкой перегиба.

2. Если в этой точке d2Y/dX2 меньше нуля, то это точка локального максимума.

3. Если в этой точке d2Y/dX2 больше нуля, то это точка локального минимума

4. Если в этой точке dY/dX2 равно нулю и меняет знак, то это точка перегиба.

Нахождение минимальных

и максимальных значении функиии

Теперь мы можем использовать наше понимание минимальных и максимальных точек для нахождения максимальных и минимальных значений функции. Для этого мы должны найти точки, в которых первая производная равна нулю. Таким образом мы определим экстремумы функции. Затем рассчитаем вторую производную. Если эта величина меньше нуля, то точка является точкой локального максимума. Если же найденная величина больше нуля, то в данной точке мы имеем локальный минимум.

Эти позиции проиллюстрируем следующим образом. Найдем максимум функции Y= 4Х3-2Х.

Первым шагом будет нахождение dY/dX, при которых первая производная равна нулю. Таким образом:

Отсюда одна из точек экстремума X = 0,4028, а другая - X = -0,4028.

§=12-2 = 0; :Л2Х2 = 2;

Следующий шаг - определение знака второй производной данной функции

d2r dX2

24Х.

При X = + 0,4028 вторая производная больше нуля, следовательно, это точка локального минимума. При X = -0,4028 вторая производная принимает отрицательное значение и, таким образом, это точка максимума. Для определения значения Y в точке максимума подставим -0,4028 вместо X в функцию, Y = 4Хг - 2Х, т.е.

К= 4 (0,4082)3-2 (0,4082) = 0,02721 - 0,8164 = -0,5443.

аПФФЕРЕНиПРОВАНПЕ ФУНКШ1Й НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

До настоящего времени мы рассматривали функции одной переменной. В финансах, как и во многих других областях экономики, одна переменная очень часто является функцией нескольких других переменных. Когда мы дифференцируем такую функцию только по одному из ее аргументов, мы вычисляем частную производную.

Уравнения, которые содержат частные производные, известны как уравнения частных производных, они особенно важны при оценке с помощью производных. В гл. 10 мы увидим, как непрерывно-временные уравнения частных производных используются при определении цены опционов.

Взятие частных произвопных

Рассмотрим функцию Y = J[X,Z), где X и Z - независимые друг от друга переменные. Можно взять производную такой функции по одной из переменных, допустив, что другая остается неизменной. Такой вид дифференцирования и называется взятием частной производной.

Частная производная обозначается dY/dX вместо dY/dX.

В соответствии с правилами дифференцирования функции с более чем одной переменной функция дифференцируется по ка-