При Y- 0,10 соответственно будем иметь:

1р=™ = 150)2630.

Ау2 (1,10)3 Квадратичное приближение будет равно:

90,0826 + 1/2 (150,2630-0,012) = 90,0826 + (0,5-0,0150) = 90,0901.

Это равно действительному значению с точностью до четырех знаков после запятой.

Применение исчисления для измерения риска иены облпгаипй

Первый член рядов Тейлора, деленный на цену облигации, известен как модифицированная дюрация, второй член - как выпуклость. Члены более высокого порядка обычно считаются незначительными при определении чувствительности цены облигации.

Волатильность облигаций

Теперь мы используем некоторые рассмотренные выше концепции для определения ценовой волатильности облигации. В гл. 1 мы объяснили, что совокупная доходность облигации является внутренней ставкой дохода в год, что равняется стоимости-будущих денежных потоков на текущую цену облигации.

Текущая цена купонной облигации рассчитывается следующим образом:

GF, GF2 GF, GF„

Рсв~<Й7) + (i + y? (328)

где у - периодическая совокупная доходность, т.е. внутренняя ставка дохода, отражающая периодичность денежных потоков.

Угол наклона касательной к кривой является первой производной цены по доходности. Первая производная, деленная на цену, дает процентное изменение цены облигации в ответ на изменение доходности на 1%, известное как модифицированная дюрация.

Для того чтобы понять, как берется первая производная dP/dy для каждой облигации, мы сначала рассчитаем ее для текущего значения одного единственного денежного потока

PGFf-r, (3.29)

где 1/(1 + уУ - дисконтный множитель. Это является текущей стоимостью одной единицы, дисконтированной по соответствующей процентной ставке на Т периодов времени. Очевидно, что умножая сегодняшнюю стоимость одной денежной единицы на сумму к получению в будущем, мы получим сегодняшнюю стоимость будущего денежного потока.

Мы можем использовать правило 5 дифференцирования, приведенное выше, но сначала преобразуем функцию (3.29) следующим образом:

Р= CFT(l +у)-т. (3.30)

и dP/dY

2L= ( T)CFr(l +у)-(Г+1>. (3.31)

Так как лучше преобразовывать отрицательные показатели степеней в положительные, где это возможно, то получим

GFr (3 32)

Это может быть распространено и на нахождение первой производной цены облигации по ее доходности на основе применения правила 7, учитывая, что купонная облигация может рассматриваться как портфель с нулевым купоном облигаций. Таким образом, применив правило 5 для нахождения dP/dy для каждого денежного потока, затем в соответствии с правилом 7 складываем первые производные для нахождения dP/dy для облигации в целом. Например, используем уравнение купонной облигации (3.28).

Это может быть выражено так:

Рсв= CF,-(1 + УГ1 + CF2(l + у)-* + CF3(\ + у)-3 + ... + CF„(l + у)--

Поскольку мы уже рассчитали dP/dY для беспроцентной облигации, то dP/d Y для отдельных денежных потоков будет равняться:

-для CF2 = dy

(-2)CF2 , (1Г

dP3 (-3)CF3

l + >,4

для CFn = (-")Cf", ,

(3.33)

где dP/dy - сумма dPx/dy + dP2/dy + dP3/dy +... + dPJdy. Следовательно, сложение отдельных производных в соответствии с правилом 7 дает

dP = (-l)Cfl + (-2)CF2 + + + (-it)CF,

(i + y)2 (i + y)3 (1 + у)4 О + уГ1

Преобразовав уравнение (3.34) и разделив его на Р (или умножив на \/Р), получим

dPJ dy Р

(1 + у)

(-DC/J , (-2)СД, , (-3)CF3 , , (-яОД

(1 + у)1 (1 + у)2 (1 + у)3

+...+-

(1+у)"

j. (3.35)

Выражение в скобках называется дюрацией Маколея (Ма-сашауч duration, 1938) Правая часть уравнения (3.35) известна как модифицированная дюрация и используется специалистами рынка облигаций как индикатор процентного риска облигаций. Модифицированная дюрация может быть интерпретирована как приблизительное процентное изменение цены облигации в результате изменения доходности на 1% при бесконечно малых изменениях доходности в следующий период времени.

Заметьте, что в расчетах дюрации совокупная доходность используется как ставка дисконтирования. Это предполагает, что временная структура процентной ставки является прямой, поскольку одна и та же ставка используется при дисконтировании всех денежных потоков независимо от их времени. Отсюда следует предположение, что временная структура может измениться на параллельную. Эти предположения не подтверждаются эмпирическими данными. К этим вопросам мы вернемся в гл. 11.