Нет никакого смысла искать, какая аппроксимация является "лучшей" линейной или "лучшей" квадратической и т.д. Они построены таким образом, что Pq имеет то же самое значение в точке у, что и Pi, и такое же значение производной, Р2 имеет то же самое значение и такую же первую и вторую производные, и т.д.

Как следует интерпретироватьэти аппроксимации? Рассмотрим рис. 3.3. Высота fly) дает нам точку на линии, равную Р. Теперь для приближения Р = fly), когда у изменяется на малую величину, мы могли бы добавить линейное приближение. Это будет: Р = fly + И) - fly) + hf(y). Будучи линейным приближением, изменение в значении Р будет приблизительно равносильно движению вдоль прямой линии, а не кривой.

О у Доходность

Рис. 3. 3. Кривая "цена-доходность" облигации

Таким образом, для всяких у, кроме наименьших изменений, приближение будет неточным. Мы можем улучшить точность применяя квадратичное приближение, которое повлечет за собой добавление второй производной к линейному приближению. Таким образом, P=fly) + hf(y) + (h2/2\) f"(y).

Для некоторых функций, обычно не для анализа облигаций, могут потребоваться кубические и приближения более высокого уровня.

Для иллюстрации применения линейных и квадратичных приближений мы применим эти принципы для нахождения, во-первых, изменения цены облигации и затем волатильности цены облигации.

ПРИМЕНЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ

Применение рядов Тейлора при оиенке изменении иены облигации

Рис. 3.3 представляет собой схематическое изображение соотношения между доходностью и ценой облигации. Кривая, известная как кривая цены-доходности облигации, нелинейна и имеет отрицательный наклон. Моделирование изменения цены в результате изменения доходности облигации может оказаться очень сложным. Тем не менее, исходя из нашего понимания разложения рядов Тейлора, мы должны быть способны приблизиться к функции "цена-доходность" на определенном этапе разложения рядов Тейлора. Можно, например, применить первую производную цены облигации по доходности, вторую, третью и т.д. Фактически мы увидим далее, что применение рядов Тейлора всего лишь первых двух порядков прекрасно позволяет оценить изменение в цене облигации при малом изменении доходности. Более того, если мы разделим разные элементы рядов Тейлора на цену облигации, то получим очень полезный результат, показывающий волатильность цены облигации.

Чтобы показать, как применять ряды Тейлора для нахождения изменений цен облигаций, рассмотрим простой пример однолетней облигации с нулевым купоном, 100% которой соответственно выплачиваются спустя один год. Если доходность на момент погашения составляет 10%, то текущая цена составит 90,91. Таким образом, Р = Д0,10) = 90,91. Какова будет цена при изменении доходности с 0,10 до 0,11? Мы можем сделать линейную аппроксимацию к изменению, прибавляя первую производную, умноженную на изменение доходности, к постоянной и получим:

90,91 + h(dP/dy),

учитывая, что Р = fly) = Р = 100/(1 + у). Получаем:

£-V (3.25)

dy jil+y)2

Таким образом, при у = 0,10

= °-= 82,6446. dy 1,102

Линейная аппроксимация к Р при у = 0,11, т.е. Р =Д0,11) будет 90,9090-(0,01 • 82,6446) = 90,0836.

В действительности, однако если доходность мгновенно поднимется до 0,11, цена; облигации упадет только до 90,09. Следовательно, линейная аппроксимация недостаточно точна. Мы видим на рис. 3.3, что линейная аппроксимация преувеличивает понижение цены облигации.

Мы можем улучшить приближение, применяя квадра-тическая аппроксимацию, которая задана следующим образом:

P(y+h)=fiy)+ ~h\ (3.26)

Чтобы продолжить, мы должны вспомнить, что 1/у равно у~1, 1/У2 = У~2> и это может быть обобщено как

l/f = у-». (3.27)

Соответственно

1/(1 + у)1 = (1 + у)-1; 1/(1 + у)2 = (1 + у)-2 и 1/(1 + у)т = (1 + у)-т.

Мы должны применить это правило при определении второй производной. Вторая производная - это всего лишь производная oi первой производной.

dp ~ш -100- 1

dy (1+у)2 (1+у)2

а это то же самое, что и

-100 (1 + у)-1. Дифференцируя, получаем

-2 (-100) (1 +у)~ъ.

Таким образом, вторая производная цены данной облигации с нулевым купоном будет:

d2P 200 dy2 (1+у)3