Применяя это к упомянутой выше функции У = 4 + X2, получаем

dY/dX = 1-1 Xх = 4Х. (3.7)

Заметьте, что свободные члены исчезают при дифференцировании. Поскольку мы уже видели ранее на рис. 3.1, что свободный член не влияет на наклон графика*функции, то можем сказать, что скорость изменения Уне зависит от значения свободного члена.

Теперь, рассмотрев основные принципы дифференцирования, мы можем вывести основные правила дифференцирования.

Нахождение производных от константы

1. Для функции У = a

AY/AX = 0. (3.8)

В этом случае У равен константе а, которая по определению не может изменяться.

2. Для функции У= ЪХ

d У/АХ = Ь. (3.9)

В этом случае У увеличивается с постоянной скоростью, равной ЬХ, таким образом, прирост У в зависимости от прироста X постоянен и равен Ь. График функции У = ЬХ представляет собой прямую линию.

3. Для функции У= а + ЬХ

d Y/dX = Ь. (3.10)

В соответствии с правилом 1 мы игнорируем а, и У изменяется с постоянной скоростью ЬХ, в соответствии с правилом 2. График функции У= а + ЬХ представляет собой прямую.

Производная степенной Функции

4. Для У= X»

dY/AX=nXn~l. (3.11)

5. Частный случай правила 4, когда X возведен в отрицательную степень, т.е. У = Х~". В этом случае мы умножаем Л на я в соответствии с правилом 4 и уменьшаем значение степени я на 1. Например, для функции У= Х~2

dY/dX= -2Х-3 . (3.12)

Этот случай особенно важен для управляющего портфелем ценных бумаг, поскольку используется при определении чувствительности цены облигаций. Это проиллюстрировано далее в этой главе.

6. Второй частный случай правила 4 применяется для X в дробной степени, например Y = X1/"; Xх!п является корнем п степени из X; ХР/" - это корень п степени из Лв степени р.

Если Y= X1/»

1 i-i

dY/dX=--X" . (3.13)

Например, для Y= Л1/3 (то же самое, что и 1[х )

dY/dX= =\-Х 3 = -1=.

3 3 З3

Производная суммы двух функиии от X

7. Для функции Y= и + v, где и и v - функции от X

d Y/dX = du/dX+ dv/dX. Например, для Y= 2Х4 + ЗЛ2

dr/cUr=8A3 + 6A:

8. Для функции Y= u-v. гле и и v - функции от X

dY/dX= du/dX-dv/dX. Например, если Y= ЗА3 - IX

dY/dX= 9Х1 + 2.

Производная произведения двух Функции от X

9. Если Y - произведение двух функций от X, то dY/dX будет равно произведению одной функции на производную другой плюс произведение другой функции на производную первой. Так, для Y= u-v

Y/dX = v(du/dX) + u(dv/dX). (3.16)

(3.14)

(3.15)

Нахождение производной отношения двух Функции от X

10. Для функции Y= u/v

dY/dX=[v(du/dX)-u(dv/dX)]/. (3.17)

Например, предположим, что u = 5X+2nv = 4Х2

du/dX= 5; dv/d*= U;

dY/AX "i§)-**+<%)

йЩХ= -(и?-;

d 4(5)-(52)(8x)

(4X )

-5x - 4

(Это выражение может быть дальше упрощено до-,-).

Производная сложной Функции

11. Для функции Y = J{u), где и в свою очередь функция от другой переменной, например и = у(х)

dY/dX = (dY/du)-(du/dX). (3.18)

Это правило цепного дифференцирования.

Например, если Y = (5Х + 2)-(4Х2), то мы можем заменить правую часть на u-v, где и = 5Х + 2, и v = АХ1. Первый шаг - это нахождение dy/dXvi dv/dX:

йи/йХ=5, dv/dX=8X.

Второй шаг - нахождение vidu/dX):

4Х2 -5 = 20Х2. Третий - нахождение u(dv/dX):

(5Х+ 2)SX = 40Х2 + \6Х.

Тогда,

dY/dX= 20Х2 + 40Х1 + \6Х= 60Х1 + 16Х.