начисления процентов. Все эти понятия объяснены и проиллюстрированы ниже. Тип применяемой в расчетах ставки - простой или сложной - зависит от вида конкретного финансового инструмента.

Простые проценты. Если ставка простая, то начисляемые проценты на депозит или по кредиту рассчитываются как произведение процентной ставки, количества лет (или их соответствующих долей) до срока погашения и суммы вклада. Например, если $1000 разместить на 6 месяцев под 6% годовых, то проценты, начисленные по простой ставке, будут равны:

0,06 • 0,5 • $1000 = $30.

Будущая стоимость депозита составит:

1000 [1 + (0,06 • 0,5)] = 1030.

Заметьте, как показаны 6% в данной ситуации: 6% - это 6/100, или 0,06, т. е. проценты выражаются в виде десятичной дроби, например, 6% = 0,06, 10% = 0,1 и т.д.

Таким образом, в общем виде формула для нахождения будущей стоимости по простой процентной ставке выглядит так:

FV= Р[\ + (г я)], (1.1)

где FV - будущая стоимость;

Р - сумма основного долга; п - срок вклада в годах;

г - простая процентная ставка в долях единицы. Обычно, если срок действия финансового инструмента больше одного года, то применяются сложные проценты. О них и пойдет далее речь.

Сложные проценты. Наращение по сложным процентам относится к периодическому добавлению накопленных процентов к основной сумме долга, т.е. накопленные проценты добавляются к основной сумме, увеличивая тем самым ее размер. Проценты в дальнейшем начисляются уже на эту увеличенную сумму. Например, денежная сумма в размере 1000 единиц помещается на банковский депозит на срок 3 года с годовой процентной ставкой 6% и ежегодным начислением процентов. В конце пер-

вого года 60 единиц, т.е. (1000 • 0,06), будет добавлено к первоначальному взносу, который возрастет до 1060 единиц. Это можно определить и так: 1000 • 1,06 = 1060. В течение второго года проценты будут начисляться уже на 1060 единиц. В конце второго года 63,6 (1060 • 0,06) будет добавлено к 1060, таким образом в третьем году базой для начисления процентов будет сумма 1123,6, т.е. (1000 • 1,06 • 1,06), и т. д.

Стоимость денег, помещенных на депозит, через 3 года (будущая стоимость первоначальной суммы) рассчитывается так: 1000 • 1,06 • 1,06 • 1,06 = 1191,02. Это пример роста в геометрической прогрессии и записывается следующим образом:

Общая формула для расчета будущей стоимости денег при ежегодном начислении процентов выглядит так:

где обозначения аналогичны (1.1).

Во многих финансовых операциях начисление происходит чаще, чем один раз в год. Например, процентные платежи могут добавляться к общей сумме депозита или кредита ежеквартально или ежемесячно. Будущая стоимость денег в этом случае будет выше, так как на проценты, начисляемые через более короткие промежутки времени, процентные платежи начисляются раньше.

Для получения формулы наращения, когда проценты начисляются чаще, чем раз в год, необходимо изменить выражение (1.2). Годовая процентная ставка делится на количество периодов начисления в году, а степень п умножается на количество периодов начисления в году:

где т - количество периодов начисления в году.

Следующий пример, в котором рассмотрено ежеквартальное начисление процентов в течение трех лет, проиллюстрирует использование этой формулы:

1000(1,Об)3 = 1191,016.

FV= Д1 + /•)",

(1.2)

(1.3)

Следует заметить, что переход от ежегодного к ежеквартальному начислению процентов влечет за собой увеличение будущей стоимости, или приносит дополнительную прибыль. В нашем случае разница составляет 4,602 за 3 года.

Можно прийти к ложному заключению, что с увеличением т (начисляя проценты чаще) происходит бесконечное увеличение значения будущей стоимости

Однако это не так, причиной чего является множитель наращения

который ограничен в росте по мере увеличения т. Табл. 1.2 демонстрирует это для случая, когда г = 1 и n = 1. Следует отметить, что так как n = 1, то mn = т и поэтому п можно в этом примере проигнорировать.

Таблица 1.2

~т 2 3 4 5 10 20 100 1000 10000

(1 + (1/от))т 2,25 2,370 2,441 2,488 2,593 2,653 2,705 2,717 2,718

Таким образом, при т = 2 мы имеем (1 + 0,5)2 = 2,25. Увеличивая частоту начислений в году до 10, мы получаем множитель наращения 2,593, увеличивая т до 100, получаем множитель 2,704, а при увеличении т до 1000 - 2,716, и т. д. Важным является предел этого увеличения, выражающийся математической константой, что мы далее увидим. Эта константа - иррациональное число, т.е. имеет бесконечное число знаков после запятой, поэтому она не может быть выражена десятичной дробью. Математики назвали ее экспонентой и обозначили е. Конечно, можно записать приближенное значение е, такое, как 2,71828182845904523536287, но даже это число не является абсолютно точным.

Мы можем обобщить эффект увеличения частоты начислений (т), заметив, что

(1.4)