ставке. Следовательно, так как 91,17 = 104,25/(1 + Л)1-5, то (1 + К)1-5 -= 104,25/91,17 = 1,1434, откуда (U434)1/1-5 - 1 = 0,0934. Это и есть 1,5-годовая спот-ставка. Мы можем проверить полученный результат, разделив 104,25 на (1,0934)1,5, и получим 91,17.

Используя полученную информацию, мы можем продолжить процесс, вычисляя двухгодичную спот-ставку. Зная три спот-ставки, можно дисконтировать три первых из четырех купонов по двухгодичной облигации. Затем вычесть текущие стоимости этих купонов из текущей цены облигации. В результате получим текущую стоимость последнего купона плюс выкупная стоимость, дисконтированная по двухгодичной спот-ставке. Теперь двухгодичная спот-ставка может быть найдена точно так же, как было показано выше.

Эта процедура иногда называется "поиск по линии связи" (bootstrap method). Она применяется до тех пор, пока не будут найдены все необходимые спот-ставки. Однако следует сделать некоторые предостережения. Во-первых, могут быть использованы только купонные облигации без каких-либо дополнительных характеристик, таких, как, например, опционные, в противном случае рыночные цены будут отражать что-то отличное от прямых денежных потоков по облигации. Во-вторых, если доходы от прироста капитала или купонные платежи облагаются налогом по различным ставкам, необходимо принять во внимание преимущества низкодоходных облигаций при налогообложении. Данная проблема может быть решена, если принимать во внимание только недавно выпущенные облигации, но в этом случае может быть учтен не весь спектр сроков до погашения.

Метод поиска по линии связи может оказаться громоздким, когда на рынке обращается большое количество купонных облигаций с одинаковыми сроками до погашения, но с разными другими характеристиками. Поэтому для моделирования временной структуры процентных ставок с разной степенью успеха применяется ряд сложных эконометрических методов. Когда временная структура уже определена, ее элементы являются всего лишь приближенной оценкой реальной временной структуры. Следовательно, получаемые спот-ставки - это всего лишь оценочные значения реальных ставок. Как следствие, цены облигаций, рассчитанные исходя из этих оценочных значений, в свою очередь также только приближенно оценивают реальные цены облигаций.

Ипотечные сошы п аннуитеты

Ипотечные ссуды. Одна из черт ипотечных ссуд заключается в том, что при определенной процентной ставке периодические выплаты являются фиксированными равноразмерными за весь срок ссуды. Если процентные ставки периодически пересматриваются (плавающие процентные ставки), меняются и периодические выплаты, но по-прежнему они будут равными в каждом из периодов вплоть до следующего изменения процентных ставок. Периодические платежи (обычно ежемесячные) состоят из основной суммы долга и процентов. Сначала, когда основная сумма долга принимает свое максимальное значение, ежемесячные платежи состоят в основном из начисляемых процентов, доля выплачиваемой основной суммы составляет лишь незначительный процент от платежей. Со временем, при уменьшении основной суммы, доля ежемесячных платежей, необходимая для покрытия начисленных процентов, снизится, а доля периодических выплат, отведенная под погашение основной суммы, возрастет. Каждый раз, когда процентная ставка меняется, необходим пересчет периодических платежей, которые покрывают проценты и направляются на выплату основной суммы долга, на оставшийся срок ипотеки.

Для иллюстрации того, как это происходит, рассмотрим прежде всего расчет равных годовых платежей, необходимых для выплаты ипотечной ссуды в £ 100000 с процентной ставкой 10% годовых (ежегодное наращение), взятой на 20 лет.

Начнем с первого года и первоначального долга £ 100 000. Проценты за первый год могут быть рассчитаны как произведение суммы долга и множителя 1,10, после чего из результата вычитается ежегодный платеж. Если обозначить этот платеж через £ X, тогда долг на начало второго года составит 100 000 • 1,10 - X.

Применяя этот же способ к полученному результату, найдем значение долга на начало третьего года:

((100 000 • 1,10) - X) - 1,10 - Х= 100 000 • 1,102 - 1,10*- X.

Заметьте, что аргументы в скобках умножены на 1,10. Повторив эту процедуру 20 раз, мы получим выражение для долга на начало 21-го года, который должен быть равен нулю:

100 000 • 1,10м - uo19*- uo18*- 1,10"*- ... ... - 1,102*- 1,10*- *= 0; 100 000 • 1,1020 - *(1,1019 + 1,1018 + ... + 1,102 + 1,10 + 1) = 0.

Переставив слагаемые в скобках в порядке возрастания, получим 1 + 1,10 + 1,102 + 1,Ю3 + ... + 1,Ю18 + 1,Ю19 - геометрическую профессию с первым членом 1 и знаменателем 1,10. Формула для суммы п первых членов геометрической профессии со знаменателем, большим единицы, выглядит так:

В общем виде:

•(U0"-l) 1,10-1

(Ur)-l

(1.41)

(1-42)

где a - это первый член, а 1 + г - знаменатель профессии, который больше единицы, так как г всегда положительно.

Расчеты для нашего примера дают такой результат:

[l,1020 -l]

1,10-1

= 57,275.

Таким образом, уравнение для нахождения регулярного платежа по ипотеке X принимает вид:

100000 • 1,10м - 57,275*= 0,

что в результате дает Х= 11745,96. Формула для общего случая:

P(l + r)"r ((1 + г)" - I)

(143)

Конечно, большинство из нас выплачивает ипотеку ежемесячными погашениями, а не ежегодными. Для нахождения ежемесячных выплат по нашей ипотеке мы можем использовать тот же самый подход (только с 240 шагами) при условии, что годовую процентную ставку преобразуем в эквивалентную месячную