величинами разного порядка или используются различные единицы измерения для разных переменных, обычно данные стандартизируют перед применением метода главных компонент.

В следующем примере исходные данные о доходности были стандартизованы, поскольку дисперсии и ковариации разных переменных существенно различаются между собой. Стандартизация производилась следующим образом:

значения будут следующими:

собственные значения: Xt = 1,76345; Х2 0,29764;

собственные векторы:

1,05032; Х3 = 0,88860; Х4 =

0,205868] 0,688288 0,612746 •0,329272]

0,698552 0,102372 0,424376

0,679614 0,010147 0,166887

0,566966Jl 0,714262

- 0,088133 0,718106

- 0,645443

0,244866 ,

Поскольку переменные были стандартизованы перед анализом, сумма собственных значений будет равна четырем, поскольку мы имеем четыре переменные. Принимая это во внимание, соответствующий вклад каждого из собственных векторов в совокупную дисперсию составит:

Xi = 44,09; Х2 = 26,26; А,3 = 22,22; Х4 = 7,44.

Следует отметить, что процесс стандатризации не является непоследовательным, так как величина собственных векторов и собственных значений, найденных на основе стандартизованных данных, будет отличаться от таковых, найденных на основе не-стандартизованных данных. В вышеприведенном случае, например, при использовании исходных данных, первая главная ком-

понента отвечала за 55% совокупной дисперсии и третья компонента - только за 10%.

Однако при использовании стандартизованных данных первая компонента отвечает всего лишь за 44% совокупной дисперсии, а третья главная компонента - за 22%, при том что вторая и четвертая компоненты остались практически без изменений.

Интерпретация главных компонент

Интерпретация главных компонент в определенной мере является субъективной. Например, рассмотрим собственные векторы, относящиеся к вышеприведенным стандартизованным переменным. Так, первый собственный вектор, отражающий первую главную компоненту, может использоваться для измерения подверженности портфеля стохастической изменчивости, соответствующей этой главной компоненте. Это дает управляющему портфелем возможность изменять удельные веса составляющих портфель активов так, чтобы снизить связанный с ними элемент риска.

Мы продемонстрируем это в другом контексте - на примере управления рисками на рынках облигаций.

ПРИМЕНЕНИЕ

НА РЫНКАХ ОБЛИГАЦИЙ

Анализ главных компонент применяется при разработке моделей риска на рынках облигаций. Из гл. 3 мы помним, что дюрация и выпуклость широко используются участниками рынка облигаций для обобщения чувствительности отдельных облигаций и портфелей облигаций к изменениям процентных ставок. Однако как дюрация, так и выпуклость облигации основываются на допущении, что кривая доходности является твердой и может переноситься только параллельно. Случайный эмпиризм показывает, что эти допущения в действительности не имеют места. На практике отдельные спот-курсы не обладают идеальной корреляцией, таким образом, временная структура и отсюда кривая доходности не переносятся параллельно.

Анализ главных компонент использовался Каном (Капп) (1989), Каном и Гульраджани (Kahn and Gulrajani) (1993) и

Карки и Рейесом (Karki and Reyes) (1994) при определении основных тем в общих изменениях большого числа спот-курсов, что составляет временную структуру процентных ставок. Затем информация о совместных изменениях может комбинироваться с информацией о подверженности облигаций изменениям отдельных спот курсов в пределах временной структуры для определения меры риска, связанного с каждой формой совместных изменений.

Изменения цены облигаций происходят по трем причинам:

1. приближается срок погашения облигации;

2. изменяется временная структура облигации;

3. изменяется оценка рынком характеристик облигации, таких как возможность неплатежа, включение в расчет стоимости опциона и т.д.

Приближение срока погашения облигации известно, и таким образом, его влияние на изменение стоимости облигации известно и не является неопределенным. Однако изменение стоимости облигации по причине изменений временной структуры и оценки рынком характеристик облигации являются неопределенными и, следовательно, являются причинами риска.

Мы знаем, что временная структура является рядом спот-курсов по отношению к спектру погашений на рынке облигаций, поэтому облигация будет подвержена изменениям во временной структуре в зависимости от того, как ожидаемые денежные потоки распределены по временной структуре, т.е. как каждый денежный поток связан с каждым спот-курсом! Например, рассмотрим две бескупонные облигации. Срок погашения одной 10 лет, а другой - 3 года. Если временная структура параллельно переносится вверх или вниз, то обе облигации изменятся в одинаковой степени, и величина изменений показывается продолжительностью и выпуклостью. Однако если долгосрочные процентные ставки возрастают, а краткосрочные - падают, то цена десятилетней облигации упадет, а трехлетней - возрастет. Теперь рассмотрим облигацию с ненулевым купоном. Она по сути является портфелем облигаций с нулевым купоном. Каждый из купонов и погасительный платеж дисконтируются по соответствующей спот-ставке. Стоимость облигации будет равна сумме приведенных стоимостей,