данные из уравнения (11.1), приведенного выше. Затем, чтобы лучше понять этот материал, мы рассмотрим пример портфеля из четырех активов с использованием реальных данных, и в конце мы рассмотрим, как эта методика может использоваться для определения риска облигации.

Гипотетический пример с двумя активами

Использование АГК позволяет нам извлекать из дисперсионно-ковариационной матрицы число линейных комбинаций дисперсий и ковариации активов, которое объясняет ковариационность активов, причем, каждая комбинация не зависит от других комбинаций. Это возможно благодаря тому, что симметричная структура дисперсионно-ковариационной матрицы позволяет это сделать при помощи процесса диагонализации. Диагонализация - это процесс, при помощи которого мы определяем линейные комбинации переменных, дисперсий и ковариации, в данном случае независимых от других линейных комбинаций. Процесс включает три стадии:

1. нахождение собственных векторов и соответствующих собственных значений;

2. построение трех матриц Q, D и Q~l;

3. определение линейных комбинаций из собственных векторов, ранжирование комбинаций в порядке убывания собственных значений.

Первая стаппя: нахождение собственных векторов п собственных значений

Первая стадия - это нахождение собственных векторов и соответствующих собственных значений дисперсионно-ковариационной матрицы С. Мы должны найти собственные векторы, потому что они дают нам линейно независимые комбинации переменных - главные компоненты, которые влияют на совокупную дисперсию. Мы должны найти собственные значения, потому что они показывают, за какую долю совокупного риска отвечает каждая главная компонента.

Математически собственные векторы - это векторы Х„ каждый из которых обладает соответствующим скалярным зна-

I "7 v ...... -

чением Xj - собственным значением, таким, что когда диспери-онно-ковариационная матрица С умножается на вектор Xt, то это равно умножению вектора на скалярную величину X, т.е. СХ{ = XXj. Симметричность матрицы С означает, что существует и таких векторов (при условии, что С - это не единичная матрица, т.е. обладает обратной матрицей) и что они ортогональны (перпендекулярны друг другу).

Пример приведен ниже. Матрица 2 х 2 в левой части - это дисперсионно-ковариационная матрица, использованная ранее. Если эта матрица может быть помножена на вектор, так, что произведение будет равно произведению собственного вектора на скалярную величину, например:

"0,00015 0,00005" 0,00005 0,00025

"Г т

является собственным вектором, то X - это соответствующее собственное значение.

Раскрыв скобки, мы получаем:

0,00015 + 0,00005m = X;

0,00005 + 0,00025m = Хт. (11.4)

Отсюда, умножая оба уравнения на т и сокращая X, мы получаем:

0,00015т + 0,00005/я2 = 0,00005 + 0,00025/и 0,00005/я2 - 0,00010т - 0,00005 = 0 5т2 - Ют - 5 = 0 т2 - 2т - 1 = 0

+ 2 ± V4 + 4 2± V8 гг

т =---= --- = 1 ± V2 .

Таким образом, собственные векторы равны:

(П.5)

Теперь мы должны нормализировать векторы так, чтобы длина их стала равна единице. Это значит, что каждая компо-

нента собственного вектора умножается на квадратный корень суммы квадратов каждой компоненты. Полученные нормализированные векторы являются собственными векторами

0,383 0,924

0,924 - 0,383

Запомним, что существует столько же собственных векторов, сколько переменных в дисперсионно-ковариационной матрице. Таким образом, в матрице 2x2 будут два собственных вектора, а в матрице п х п - п собственных векторов.

Мы можем доказать, что полученные векторы являются собственными векторами, потому что собственные векторы - это векторы, которые при умножении на матрицу С равны произведению вектора на скалярную величину. Например

0,00015 0,000050,383 0,00005 0,00025j[0,924

Здесь мы умножим матрицу С на вектор, чтобы получить новый вектор. Такой же вектор мы получим при умножении 0,000271 на первоначальный вектор. Таким образом, мы видим, что вектор в левой части - это собственный вектор, и скаляр 0,000271 - это собственное значение.

Точно такая же процедура применяется и к вектору в правой части, и в результате видим, что этот вектор также является собственным вектором

0,00015 0,00005]" 0,924 0,00005 0,00025}- 0,383

0,000119" 0,000050

0,000129

здесь собственное значение равно 0,000129.

0,924 - 0,383

Вторая стадия: построение матрии О. D и О-1

Следующий шаг - это построение трех матриц Q, D и Qrx. Матрицу Q строим из собственных векторов, записывая их как колонки матрицы в порядке убывания соответствующих им соб-