назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [ 165 ] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]


165

• изменчивость многофакторной структуры;

• корреляция или коллинеарность переменных.

Обычно некоторые переменные будут иметь сильное влияние на общее изменение структуры, в то время как другие будут влиять слабо или же незначительно.

Одна из трудностей состоит" в*том, чтобы определить, какие переменные включать в модель и соответственно измерять. Например, если две переменные обладают идеальной корреляцией, то можно обойтись одной из них - вторая не несёт в себе никакой дополнительной информации. Это аналогично проблеме мультиколлинеарности во множественной регрессии.

В общем бывает неясно, какие переменные следует включить и какие исключить из рассмотрения, и возникает потребность в механизме отбора переменных или их комбинирования, таким образом, чтобы они включали всю доступную информацию наиболее эффективным образом.

Анализ главных компонент (principal components analysis) применяется при анализе изменчивости многофакторных структур. Факторный анализ (factor analysis) используется при анализе корреляции между переменными в многофакторной структуре. Оба метода основываются на анализе дисперсионно-ковариационной матрицы, поскольку она содержит всю информацию о том, в какой мере исследуемые переменные изменяются вместе, т.е. в какой мере дублируют или дополняют друг друга. В этой главе мы будем обозначать дисперсионно/кова-риационную матрицу буквой С.

Хотя в методе главных компонент и факторном анализе используется дисперсионно-ковариационная матрица, они отличаются от анализа дисперсии - математического ожидания, рассмотренных в гл. 4 и 9, тем, что анализ дисперсии - математического ожидания измеряет общую изменчивость группы переменных без определения особого вклада подгруппы переменных в эту изменчивость. Метод главных компонент определяет и ранжирует подгруппы по их вкладу в совокупную изменчивость. Каждая из этих подгрупп - это "главная компонента" и определяется степенью ковариации между компонентами подгруппы. Вклад каждой из главных компонент в совокупную изменчивость ранжируется согласно совокупной дисперсии подгруппы.



При использовании анализа главных компонент, общая изменчивость данных находится как сумма собственных значений (которая будет равна сумме элементов на главной диагонали С, известной как ее след). Затем компоненты (линейные комбинации переменных) выбираются в порядке убывания собственных значений, пока главные компоненты не будут отвечать за достаточно большую долю изменчивости. Таким образом, размерность системы признаков снижается и определяются наиболее важные компоненты (направления).

В этой главе потребуется вспомнить математические действия над матрицами, описанные в приложении к гл. 6, применительно к определению дисперсии портфеля.

Из гл. 2 мы знаем, что дисперсия портфеля равна сумме взвешенных ковариации каждой пары активов, где дисперсия считается ковариацией актива с самим собой. Представим портфель, состоящий из двух активов А и В. Дисперсия доходности актива А равна 0,00015, дисперсия доходности актива В равна 0,00025, и ковариация между А и В равна 0,00005. Дисперсионно-ковариационная матрица С будет иметь вид

0,00015 0,00005 0,00005 0,00025

(11.0)

Если мы предполагаем, что доли ценных бумаг в портфеле равны, то дисперсия портфеля будет определяться умножением матрицы С на горизонтальный вектор весов 1 х л и затем доум-ножением полученной матрицы на вертикальный вектор весов п х 1. Таким образом будем иметь

[0,5 0,5]

0,00015 0,00005 0,00005 0,00025

0,5 0,5

= 0,000125. (11.1)

Следовательно, общая дисперсия портфеля равна 0,000125.

АНАЛИЗ ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ (АГК)

Метод главных компонент применяется в двух целях. Первая - это уменьшение размерности данных с многих до нескольких переменных. Это достигается путем определения групп перво-



начальных переменных таким образом, чтобы члены группы обладали корреляцией между собой, но группа в целом была бы линейно независима от других переменных или групп переменных. Линейно независимые группы переменных называются главными компонентами.

Вторая цель, обусловленная стервой, - это интерпретация данных. Это становится возможным благодаря тому, что метод главных компонент определяет линейные комбинации переменных и выстраивает их в порядке убывания их влияния на совокупную дисперсию первоначальных данных. Таким образом, первая главная компонента будет являться линейной комбинацией переменных, обладающей наиболее высокой дисперсией, вторая компонента - это линейная комбинация со второй по величине дисперсией и т.д. Это делает возможным объяснить большую часть дисперсии наименьшим возможным количеством компонент.

Существует множество ситуаций в финансовой практике, когда желательно определить наиболее важные переменные или линейно независимые комбинации переменных, которые делают наибольший вклад в уровень риска. В нашем примере портфеля из двух активов будут только две компоненты. Однако в большом портфеле из п переменных будет п главных компонент. Некоторые из компонент будут обладать высокой корреляцией с другими, так что подгруппа в целом будет влиять на степень риска независимо от влияния других переменных или групп переменных. Метод главных компонент позволяет нам определить эти независимые линейные комбинации переменных и их влияние на совокупную дисперсию. Мы, таким образом, получаем более полное представление о том, что влияет на уровень риска и, следовательно, получаем возможность лучше управлять рисками.

Анализ главных компонент представляет собой скорее средство, чем цель. Например, определение главных компонент может служить для построения уравнения регрессии, так что зависимая переменная регрессируется не по первичным независимым переменным, а по главным компонентам. Далее в этой главе мы увидим, как определение главных компонент в изменениях процентных ставок позволяет нам лучше измерить процентный риск портфелей облигаций.

Сначала мы рассмотрим метод главных компонент на примере портфеля из двух инструментов, используя гипотетические

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [ 165 ] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]