• (w - a)

a = lni" +

I 2b7 )

dw =

( i\

ix - -j И b = ajT-t

1 e I - (v>1 - 2aw + a1 - 2wb2)

dw i

- [(w - (a + j>2))2 - 2ab2 - b4]*

dw =

J

-0v-(a + 62))2l

V z У

dw =

-(VY-(fl + A2))2

= exp

I 262 ))

= exp In 5 + ц--

(T-/) +

а2(Г-0

1 - jV

lnA-lnJ-

e»TS

. S f in--

IX + -

(T-t)

\ - J

= e»TSN

S lnJ +

u + -

(T-t)

Таким образом, ожидаемая стоимость опциона в момент времени Т - это eu(T-,>S(t)N(d])-XN(d2), где

inf + Gi + 5 )<r-o 1п.- + <ц-2г><7,-0

= -=4=- И((2:--*-==J=- .

И в заключение мы должны осуществить дисконтирование и привести стоимость к настоящему времени t. Но здесь существует проблема - что использовать в качестве ставки дисконтирования?

Если норма отклонения ц основного актива больше безрисковой ставки г, то доход по ценной бумаге будет более высоким, но и при более высоком риске. В этом случае мы сможем рассчитать ожидаемую будущую стоимость опциона, но не сможем дисконтировать ее, чтобы получить текущую стоимость, поскольку неизвестно, какой ставкой дисконтирования следует воспользоваться.

Тот факт, что дифференциальное уравнение Блэка-Сколса для цены производного финансового инструмента не содержит р, предполагает, что и решение (стоимость производного финансового инструмента) будет независимо от ц. Таким образом, мы можем обойти нашу трудность, переместившись в абстрактный безрисковый мир, где арбитражные операции обеспечат безрисковый доход для всех ценных бумаг. Это не повлияет на цену опциона на ценную бумагу.

Следовательно, мы можем определить стоимость опциона с помощью расчета его ожидаемой стоимости, допустив, что ценная бумага имеет норму отклонения г, а не , и дальнейшего дисконтирования по безрисковой ставке г.

Тогда текущая стоимость опциона на покупку ценной бумаги определяется следующим образом:

e-VrS(0Mtfi)-A7V(</2)) = S(f)N(dx)-Xt-rTN(d2).

Это и есть уравнение Блэка-Сколса.

МНОГОМЕРНЫЙ АНАЛИЗ: АНАЛИЗ ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ И ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Введение

Анализ главных компонент

• Гипотетический пример с двумя активами

• Пример анализа доходности FTSE 100, государственных облигаций, S&P500 и обменного курса валют

• Пример стандартизованных переменных

• Интерпретация главных компонент Применение на рынках облигаций Факторный анализ

Теория арбитражного ценообразования Упражнения

Список используемой н рекомендуемой литературы

ВВЕДЕНИЕ

Анализ главных компонент и факторный анализ - это методы анализа структуры данных в рамках многофакторности. Вместе с множественной регрессией (см. гл. 6) и многофакторной корреляцией в рядах динамики (см. гл. 8) эти методы наиболее часто используются в многофакторном анализе. Они отличаются от множественной регрессии тем, что целью регрессии является определение связи между экзогенной переменной и множеством эндогенных переменных. В случае анализа главных компонент и факторного анализа исследуется взаимоотношение только между эндогенными переменными. В отличие от корреляции в рядах динамики отношения между эндогенными переменными не обязательно должны быть устойчивыми.

В финансах и общественных науках, как и во многих других сферах, часто необходимо определить характеристики многофакторных структур. К двум таким характеристикам относятся: