Неопределенный метод конечной разницы

На практике требуется большое количество точных результатов, поэтому вычислительная эффективность становится особенно важной. Альтернативный подход - неопределенный метод конечной разницы - использует следующие более явные и более точные конечные разностные приближения для частных производных:

SW и W(t + At,S)-W{t,S) St At

SIV и W(t,S + AS) - W(t,S- AS) 85 "

AS)

W(t,S + AS) - 2W{t,S) + W(t,S -

(П.10.5)

5S1 AS1

Если в определенном методе конечной разницы точная формула изменятся с учетом W(t + At, S + AS), W(t + At, S) и W(t + At, S-AS), to в неопределённой версии мы должны решить систему уравнений, чтобы найти W(t, S). Это необходимо потому, что структура разностей имеет вид, показанный на рис. 10.7

Рис. 10.7

Значение в заштрихованной ячейке будет участвовать в определении трех индивидуальных приближенных оценок, как показывают три отдельные стрелки. Это означает, что обратный итерационный процесс, начинающийся с известных значений в момент времени t + At, будет

включать в себя решение системы уравнений. Количество решаемых уравнений является функцией от размера сетки.

Заметим, что, как и раньше, может быть необходимым использовать верхнее и нижнее ограничивающие условия:

Иг.О) = 0 для опциона на покупку, или X для опциона на продажу (X - цена исполнения).

Для больших S W(t,S) = S-X для опциона на покупку, или 0 для опциона на продажу.

ПРИЛОЖЕНИЕ 10.2:

Получение уравнения Блэка-Сколса

с использованием ожидании

Мы можем рассчитать стоимость опциона как ожидание - вероятностно взвешенную сумму. Мы осуществим вывод уравнения для опциона на покупку и приведем результат для опциона на продажу. Предпримем элементарный подход, который будет содержать неизбежно скучную алгебру.

Вспомним, что стоимость Европейского опциона на покупку на момент исполнения равна max(0,5j-X), где X - это цена исполнения.

Е (стоимость в момент времени 7) = j"(5y - X)f(Sf)dSf =

= J(5 - X)f(S)dS (это известно как X стохастический

оо оо интеграл)

= Sf(S)dS-Xf{S)dS,

где / - функция плотности вероятности для ST.

Найдем отдельно каждый интеграл. Начнем со второго, так как он легче:

jxf(S)dS = jf(S)dS

= X 1- N

ЫХ- In5X0 +

так как S логнормально распределена, N возвращает левостороннюю вероятность стандартного нормального распределения (см. рис. 10.8):

Рис. 10.8

Первый интеграл труднее, так как необходима подстановка W= 1п5, что, как следствие, обяжет нас отыскать функцию плотности вероятности для И7 (см. рис. 10.9)

S lnS

Рис. 10.9

= ЩъБ), тогда

/(5) = и(1п5) *

j е

где п - функция плотности вероятности для нормального распределения.

00 00