|
назад Оглавление вперед
[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [ 162 ] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]
162 | | | | | волатильность | | | | | | | | | 0,10 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 57,5 | | | | | | | | | | 22,84653 | 22,5 | | | | | | | | | | 20,68964 | 20,34653 | | 52,5 | | | 0,016 | | | | | 18,52934 | 18,18964 | 17,84653 | 17,5 | | | | | | | | 16,36569 | 16,02934 | 15,68964 | 15,34653 | | 47,5 | | | | | | 14,1987 | 13,86569 | 13,52934 | 13,18964 | 12,84653 | 12,5 | | | | | | 12,05241 | 11,73283 | 11,36569 | 11,02934 | 10,68961 | 10,34653 | | 42,5 | | | | 9,975935 | 9,658943 | 9,26024 | 8,927471 | 8,529345 | 8,189638 | 7,846535 | | | | | 8,015471 | 7,687618 | 7,285476 | 6,939675 | 6,511311 | 6,155919 | 5,689638 | 5,346535 | | 37,5 | | 6,210491 | 5,877035 | 5 19624 | 5,141786 | 4,728753 | 4,352501 | 3,876839 | 3,485565 | 2,846535 | | | 4,600594 | 4,281332 | 3,938053 | 3,(Ю0486 | 3,232397 | 2,871997 | 2,459606 | 2,070626 | 1,546642 | 1,143564 | | 32,5 | | 2,647781 | 2,355079 | 2,(61135 | 1,74779 | 1,427594 | 1,113621 | 0,763501 | 0,456294 | | | | | | 1,187463 | 0,%3614 | 0,742513 | 0,532283 | 0,329068 | 0,157218 | | | | 27,5 | | | | 0,337589 | 0,220145 | 0,120385 | 0,046231 | | | | | | | | | | 0,036596 | 0,011443 | | | | | | 22,5 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 17,5 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 12,5 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
Рис. Ю.5
25,0 S + AS 22,8465 22,5 20,0 t + At = T Время Рис. 10.6 S-AS Затем эти три верхних конечных значения подставляются в уравнение (П. 10.4) наравне с величинами 5", AS, At, волатильностью й безрисковой процентной ставкой. Значение S - это значение, находящееся в самом левом столбце решетки и соответствующее среднему значению конечных стоимостей опциона во время Г, т.е. 57,5 для нашей тройки. Непосредственный расчет показан ниже. At = 0,1, г = 0,10, AS = 2,50 и a = 0,20. Если S = 57,5, то S + AS = 60,0 и S-AS = 55,0. Цена исполнения опциона равна 35, а соответствующие значения цен опциона на момент времени Т - 25, 22,50 и 20. Подставив эти значения в уравнение (П.10.4), получим: Wtt.S) = 1 +(0,1 0,1) 57,5 2,5 (5L50,22 +0,ll25. v 2,5 ; 224 + 57,5 24 (од2-0,1)20 22,8465 Следовательно, стоимость опциона на покупку в точке W(S,t) в решетке равна 22,8465. Этот процесс повторяется после смещения на одну ячейку вниз, т.е. используются три соответствующих значения для момента времени / + At. В нашем примере эти значения - 22,5, 20 и 17,5. Далее, подставив эти значения в выражение (П.10.4), получим стоимость опциона 20,3465. Т.е. мы просчитываем значения, двигаясь от ограничивающих условий к левому краю решетки до тех пор, пока не достигнем текущего временного периода и цены опциона 4,6006. Аналогия ме-
жду этим методом и биномиальной и триномиальной моделями, обсужденными в гл. 8, должна быть очевидна. Заметим, что может быть необходимо использовать следующие ограничивающие условия: W(t,Q) = 0 для опциона на покупку, или X для опциона на продажу (X - цена исполнения), Для больших S W(t, S) - S-Хцля опциона на покупку, или 0 для опциона на продажу. Для Американского опциона на покупку на каждом этапе вычислений рассчитанное значение W(t,S) сравнивается с S-X (X-S в случае опциона на продажу) и заменяется на него, если S-X (X-S) больше. Это сходно с ранним примером и иллюстрирует гибкость численного подхода в возможности справиться с опционами, отличными от самых простых и элементарных. Сближение и устойчивость Определенный метод конечной разницы позволяет найти цены опционов для любых комбинаций цен активов и временных интервалов до момента исполнения. Однако численные методы порождают проблемы, связанные с многочисленными повторяющимися округлениями результатов, которые могут привести к серьезным отклонениям при расчете соседних значений и/или отрицательным результатам, т.е. неустойчивости. Сравним значение 4,6006 со значением 4,57 для десятиступенчатой биномиальной модели и со значением 4,64 для модели Блэка-Сколса. Как следствие, возникает необходимость в увеличении точности наших приближенных оценок. Как и в биномиальной модели, мы можем рассмотреть сокращение временных интервалов и интервалов между значениями S в сетке (т.е. вертикальных интервалов в вышеприведенной схеме, известных как размер сетки), чтобы уменьшить ошибки приближенных вычислений и приблизиться к реальному результату. К счастью, можно доказать, что две цели - достижение сближения и избежание неустойчивости - могут быть достигнуты при условии, что если при проделанных сокращениях для временных интервалов и размера сетки значение отношения AS/S останется между 0 и 0,5. Это, однако, порождает свои проблемы, так как видно, что уменьшение размера сетки в два раза должно быть компенсировано сокращением временного шага в четыре раза, а время вычислений увеличится соответственно в восемь раз.
[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [ 162 ] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]
|
|
|
|