назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [ 161 ] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]


161

ОТВЕТЫ

К ИЗБРАННЫМ

ВОПРОСАМ

7. 1,85. 11.

47,5

12,5

42,5

37,5

32,5

27,5

22,5

7,7827782

0,04

3,4588128 1,5772272 0,4649837

0,0066667

5,603448

3,2569941

1,3558335

0,3272028

0,0370406

AS 2,5

волатильность

7,9338793

5,443196

3,0500355

1,1109992

0,1958625

0,0115722

10,289854

7,7898538

5,2898538

2,8418287

0,8284516

0,0801407

12,645228

10,145228

7,6452282

5,1452282

2,6452282

0,4792531

10 7,5 5

СПИСОК

ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Black, F. and Scholes, М. (1973) The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81, (May-June), pp. 637-59.

Churchill, R.V. (1963) Fourier Series and Boundary Value Problems, 2nd edn. McGraw-Hill, New York.

Hull, J.C. (1993) Options, Futures and other Derivatives, 2nd edn. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ.

Ito, K. (1951) On stochastic differential equations. Memoirs, American Mathematical Society, 4, pp.1-51.

Watsham, T.J. (1992) Options and Futures in International Portfolio Management. Chapman & Hall, London.



ПРИЛОЖЕНИЕ 10.1:

Метопы конечной разнпиы

в приложении к уравнению

в частных производных Блэка-Сколса

В гл. 10 мы уже показали, что объединение допущения о нейтральности риска с допущением, что цены активов следуют процессу Ито, позволяет нам вывести уравнение частных производных, пригодное для применения по отношению к любым производным финансовым инструментам. Это уравнение Блэка-Сколса еще раз приведено ниже:

W+rSb}V+la2s2&V=rlv. (ПЛ01)

5/ SS 2 552

Подобные уравнения называются уравнениями с частными производными, так как они содержат частные производные одной или нескольких переменных. В этом случае мы имеем уравнение, включающее первую производную цены огщиона по отношению ко времени 8W/8t, первую производную цены опциона по отношению к цене основного актива bW/bS и производную S W/8S также по отношению к цене данного актива.

Однозначное решение для таких дифференциальных уравнений можно получить только при наличии строгих ограничений (одно из которых было рассмотрено ранее в этой главе). В случае уравнения Блэка-Сколса мы имеем Европейский опцион, по которому не выплачиваются дивиденды, а его стоимость определяется ограничивающими условиями, приведенными ранее. Другие типы опционов, например, так называемые "экзотические опционы", имеют более сложные ограничивающие условия, а однозначное решение часто невозможно получить, т? этих случаях необходимо прибегнуть к числовым методам. К счастью, существует множество таких подходов, которые легко понимаются и применяются. Метод конечной разницы - один из таких подходов. В действительности существует два подхода - определенный метод конечной разницы и неопределенный метод конечной разницы.

В этом методе частные производные в дифференциальных уравнениях заменяются на конечные разностные приближения (finite difference approximations). В определенном методе конечной разницы эти приближения выглядят следующим образом:

5W W(t + &t,S)-lV(t,S) 5/ ~ А/

bW W(t + &t,S + AS) -W(t + &t,S - AS) ЩЮ2)

&S 2&S

&2W W(t + &t,S + bS) -2W(t + &t,S) + W(.t + &t,S -&S)

as2 * /±s2



Проделав замену в дифференциальном уравнении Блэка-Сколса в соответствии с этим, получим следующее:

W(t + At, S) - W(t, S) { rS W(t + At,S + AS) -)V(t + At,S- AS)

At 2AS (n 10 3)

+ J 2S2 W(t + At,S+ AS)-2)V(t + At,S) + )V(t + At,S-AS) rW s

+ 2G AS2 . *

После некоторых алгебраических манипуляций уравнение примет вид: S

W(t,S) = 1

1-1-1

1 + rAt

Дгст2 + rjlV (t + At,S + AS) +

S , .2

S ..( S 2

lV(t + At,S) -r\W(t + At,S- AS)

(П.10.4)

Мы проиллюстрируем эту технику, применив ее к тому же самому опциону, что и для модели Блэка-Сколса.

Процесс начинается с построения решетки, в которой по вертикали помещены цены актива, возрастающие через равные интервалы, а по горизонтали - равномерно распределенные временные отрезки. Разница между каждыми равномерно изменяющимися ценами составляет AS, а временными точками - Дг. Ограничивающие условия для опциона дадут нам возможные значения стоимости опциона на момент исполнения (в момент времени 7), они составят значение самого правого столбца решетки. Эти значения будут аналогичны стоимостям на момент исполнения, расположенным у правой границы биномиального или триномиального дерева.

В нашем примере таблица с ценой актива S, изменяющейся от 10 до 60 с шагом AS = 2,5, и временным шагом At, равным одной десятой года 0,1, представлена на рис. 10.5.

Так как оцениваемый опцион имеет цену исполнения 35, то правый граничный столбец решетки соответствует ограничивающим условиям для опциона, т.е. с = тах[5т-35,0].

Рассмотрим рис. 10.6, представляющий собой уменьшенную копию рис. 10.5.

Самый правый столбец решетки (время Т) связан с ограничивающими условиями для цены опциона, относящимися в данном случае к опциону с ценой исполнения 35.

Рассмотрим три верхних значения столбца. Ячейка со значением стоимости опциона 22,50 относится к точке W(t + At, S). Значение 25,00 в самой верхней ячейке соответствует W(t + At, S + AS), а значение 20,00 - W(t + At, S-AS).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [ 161 ] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]