(10.14)

и норму волатильности:

(10.15)

Применяя лемму Ито к производным финансовым инструментам, вспомним, что S - это цена актива, лежащего в основе контракта, а ожидаемый доход, дисперсия и среднее квадратическое отклонение основного актива обозначены через fiS, a2S2 и aS соответственно. Тогда производная переменная W, являющаяся функцией от S и г, будет следовать процессу Ито:

Ниже мы увидим, каким образом полученный результат (10.16) может быть использован при определении стоимости производных финансовых инструментов.

Ценообразование производных Финансовых инструментов в безрисковои среое

Нейтральность к риску - это искусственное (абстрактное) состояние среды, где инвесторы, как предполагается, безразличны к риску. Вследствие этого они не требуют премии за риск, но и не платят другим за несение риска. В результате в безрисковом мире по всем рисковым активам выплачивается безрисковый доход. Подобный мир не относится к тем, которые обычно распознаются как миры, описывающие наши финансовые рынки. Однако данное интеллектуальное порождение довольно полезно в преодолении трех взаимозависимых проблем, связанных с ценообразованием производных финансовых инструментов.

Прежде всего, нам необходимо знать ожидания инвесторов относительно дохода по данному активу. Это даст нам величину скорость тенденции ц.

Во-вторых, нам необходимо знать ожидания инвесторов относительно риска - диапазона распределения вероятностей будущих доходов по активу. Это даст нам среднее квадратическое отклонение.

o2S2 ot + ~ct.sWo7. (10.16)

В-третьих, нам необходимо знать требуемый доход для инвесторов. Это даст нам ставку дисконтирования, которая будет использована в определении стоимости производных финансовых инструментов. Требуемый доход будет связан с ожиданиями инвесторов относительно риска и со степенью неприятия риска ими. Пока же мы не представляем себе, каким» будут эти отношения к риску.

Все три переменные - ожидаемый доход, ожидаемый риск и степень неприятия риска - будут различны для инвесторов. Но для двух наших проблем существует искусное решение. Вспомним, что процесс Ито для основной переменной и процесс Ито для производной содержат стохастический элемент aSг/dt, но в разных пропорциях. Следовательно, возможно занять длинную позицию по основной переменной и короткую по производной переменной таким образом, что эти два стохастических процесса исключат друг друга. На рынке активов это возможно осуществить, например, путем покупки основного актива и продажи некоторого количества производных финансовых инструментов, скажем, опционов на покупку. Вспомним, что это метод, с помощью которого была разработана однопериодная биномиальная модель в гл. 8.

Вспомним также, что стохастический элемент или процесс

ovSfe -Jdt отвечает за стохастическую природу и, следовательно, за рискованность как основной переменной, так и производного финансового инструмента. В результате портфель ценных бумаг, состоящий из длинной позиции по основной переменной и короткой по производной переменной таким образом, что два стохастических процесса исключают друг друга, будет безрисковым. Поэтому на эффективных финансовых рынках этот портфель (или комбинация) должен иметь безрисковую процентную ставку, что означает, что только безрисковая процентная ставка может быть использована для дисконтирования будущей стоимости и приведения ее к текущей.

Для того чтобы это стало ясным, вспомним, что процесс Ито для основного актива выглядит так:

dS = \xSdt + oSsJdi, а процесс Ито для W - производной от S - так:

(10.17)

bW =

bW 1 b2W

a2S2 dr + a&VdT

(10.18)

6f + 2 552

Представив актив S и соответствующий производный финансовый инструмент W с помощью соответствующих процессов Ито, построим портфель П, состоящий из одной короткой позиции по производному финансовому инструменту и длинной позиции по bW/bS единиц основного актива. Тогда изменение в стоимости портфеля 5П будет равно:

{5S * 8t 2 SS2 J 55

5П :

&S

(10.19)

bW 1 5¥g252 Ы " 2 5,у2 CT

Чтобы показать, как был получен конечный результат, раскроем скобки в уравнении (10.19) и сократим слагаемые:

6П =

bW bW At 1 b2W ls,iAt bW c /Т7

-- uJdf +-6t +--a S ut + -- o&EyQt

SS Ы 2 ss2 85

8S 8S

St 2 552

(10.20)

= I -iitL 12Lff2j2 \dt. { « 2 8J2 J

Вспомним, что наш портфель П состоит из одной короткой позиции по производному финансовому инструменту W и длинной позиции по 5 075.5* единиц основного актива S. Так как портфель является безрисковым в каждом коротком промежутке времени, он имеет мгновенную безрисковую процентную ставку. Поэтому любое изменение П за малый временной промежуток должно быть равно произведению безрисковой процентной ставки и стоимости безрискового портфеля за тот же малый временной интервал, тогда