Ито выглядит как dx = a (х, t)dt + а (х, t)s -Jdt. В нашем случае основные переменные - это цена актива S и время /, тогда процесс Ито записывается так: dS= S(S, t)dt + a(S, t)e -Jdt. Следовательно, если меняются основные переменные, меняется и абсолютная скорость тенденции. -Например, с увеличением S увеличивается и а, а с увеличением / увеличиваются аист.

Для преобразования нашего процесса Винера в процесс Ито обозначим ожидаемую ставку доходности, выраженную в десятичной форме, как ц, тогда /лУ будет абсолютным доходом. Для малого промежутка времени At ожидаемый абсолютный доход будет AS = pSAt, что в пределе выглядит как dS" = /jSdt. Разделив обе части равенства на S, получим ставку доходности dS/S = /jit.

Таким образом, мы имеем абсолютное изменение цены актива AS, которое является функцией от цены актива (/jSAt), и ставку доходности dS/S, которая не зависит от цены актива (pdt).

Хотя мы и можем установить функциональную зависимость абсолютного ожидаемого дохода от цены актива, степень неопределенности, касающаяся ожидаемого дохода, в течение малого периода времени будет независима от цены актива. Это значит, что инвестор испытывает одинаковую неопределенность относительно будущих доходов независимо от того, равна цена 1 или 10 фунтам стерлингов.

Следовательно, dS/S является функцией от pdt и ae-Jdt. Объединив это, получим

= ndr + oWd7 (10.7)

или dS = ySdt + o\SeVd7,

что и является процессом Ито. Если процесс Винера часто называется броуновским движением, то рассматриваемый нами процесс Ито иногда называется геометрическим броуновским движением.

Рис. 10.4 показывает пример процесса Ито (геометрического броуновского движения). Следует отметить рост, подобный экспоненциальному, что является следствием пропорциональной зависимости ставки роста от уровня S в процессе.

Мы уже заметили, что хотя степень неопределенности будет независима от цены актива, абсолютный доход будет тем больше, чем выше цена актива. Поэтому фактическая разбросанность

ожидаемых цен активов будет зависеть от величины текущей цены актива. В результате среднее квадратическое отклонение абсолютного изменения будет тем больше, чем выше цена актива.

140 т

Рис. 10.4. Процесс Ито

.Дисперсия фактических изменений цены актива, зависящих от величины этой цены, определяется как

сгДГ, (10.8)

а получаемая мгновенная дисперсия равна

ог&. (10.9)

Этот результат получается потому, что если мы установили пропорциональную зависимость среднего квадратического отклонения от цены актива, дисперсия будет пропорциональна квадрату этой цены.

Выражая изменчивость в качестве среднего квадратического отклонения, мы имеем ожидаемый (детерминированный) элемент дохода, представленный как функция от цены актива и времени, также мы имеем стохастический элемент изменчивости цены как функцию от цены актива и времени. Такая модель движения цены актива может быть представлена в форме:

US = цЯг + o&VdF., (10.10)

которая является процессом Ито, так как цены актива и изменчивость этих цен являются функцией от основных переменных - цены актива S и времени t.

Первый элемент - средняя /jSdt - фиксированный, т.е. не стохастический. Второй элемент - стохастический компонент o\SeVd7 - является причиной стохастической природы всей функции. Кроме того, так как s выбирается из стандартного нормального распределения, dS также нормально распределена со средней pSdt и средним квадратическим отклонением o-i&VdT; также и dS/S нормально распределена со средней df и средним квадратическим отклонением

ПРИМЕНЕНИЕ ЛЕММЫ ИТО К ЦЕНООБРАЗОВАНИЮ ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Мы объяснили, каким образом цены активов следуют процессу Ито:

dS = nSdt + o\Wd7. (10.11)

Мы можем использовать наши знания процесса Ито для определения стоимости производных финансовых инструментов таких, как форварды, фьючерсы и опционы. Ито (1951) доказал, что любая переменная, являющаяся функцией другой переменной, которая следует процессу Ито, сама будет следовать процессу Ито в форме:

\dW dW \d2W Л dW гг Ш = {-dXa + ~dT + 2 B Г + (I0I2)

где W - функция (производная) от А, а А следует процессу Ито:

d* = adf + oWd7. (10.13)

Следовательно, W также следует процессу Ито. Параметры а, о-2 и о- в уравнении (10.12) - это ожидаемый доход, мгновенная дисперсия и волатильность соответственно, характеризующие переменную х, которая следует процессу Ито. Заметьте, что составным элементом является основной процесс Винера е Vo7.

Цена производного финансового инструмента W является функцией от цены ценной бумаги, лежащей в основе контракта, и времени. Переменная W имеет скорость тенденции: