Гпава 10

случайным образом на протяжении периода в результате совокупного эффекта многих независимых случайных импульсов, являющихся следствием получения новой информации.

Основной проиесс Винера*

Для того чтобы понять, каким образом процесс Винера соотносится с движением цен активов, мы начнем с объяснения основного процесса Винера.

Пусть S будет любой случайной переменной, а г - периодом времени. За малый промежуток времени Аг случайная переменная S изменится на AS. Если £ следует процессу Винера, т.е. броуновскому движению, изменение 5" за малый промежуток времени будет соотноситься с Аг следующим образом:

А5 = 8л/а7, (10.1)

где £ - получено на основе случайной выборки из нормально распределенной переменной со средней, равной нулю, и средним квадратическим отклонением, равным единице. В пределе это можно записать так:

d5 = eVd7. (10.2)

Так как е - нормально распределенная переменная, то и AS должна быть нормально распределена со средней, равной нулю, дисперсией At и. средним квадрашческим отклонением ТдТ.

•Следовательно, по сути мы имеем переменную S, которая изменяется случайным образом на величину AS, которая зависит от другой случайной переменной е 7д7 (эффект случайного получения новой информации на рынке), имеющей среднюю, равную нулю, дисперсию Аг и среднее квадратическое отклонение >/д7.

Независимость переменных - важное свойство процесса Винера. Это означает, что разные значения AS независимы и, так как е нормально распределена, значения AS характеризуются как независимые и тождественно распределенные IID (AS~ N(0, -JaI ). Если дисперсия отдельной AS равна Аг, дисперсия за более длинный промежуток времени будет £Af.

Для того чтобы это понять, рассмотрим независимые наблю-

Математика непрерывных процессов в финансах

менных периода t\ и t2. Так как наблюдения S независимы, дисперсия за общий промежуток времени Т = t\ + t2 будет равна сумме дисперсий за каждый короткий временной промежуток, т.е. DT = Dh + D,r

Таким образом, если случайная переменная следует процессу Винера, изменение за данный промежуток времени (Т = ZA/), AS(T) будет иметь среднюю (математическое ожидание, равное нулю), но дисперсию, равную Т, и среднее квадратическое отклонение, равное -JT. То есть изменение случайной переменной будет иметь математическое ожидание, равное нулю „и среднее квадратическое отклонение, равное квадратному корню из заданного будущего временного периода.

Рис. 10.1 отображает процесс Винера. Заметьте, что степень изменчивости (variability) уровня увеличивается с увеличением интервала At, тогда как степень изменчивости инновации постоянна, что далее иллюстрирует рис. 10.2, где представлены три графика одного и того же процесса.

-100

Время

Рис. 10.2. Несколько броуновских движений

Можем ли мы применить процесс Винера для описания стохастических процессов цен активов? К сожалению, не в его настоящей форме. Применение процесса Винера невозможно по следующим трем причинам:

1. Активы характеризуются различными степенями волатильности. В процессе же, описанном выше, волатильность была одна.

2. Рисковые активы имеют положительное ожидаемое среднее значение дохода. В процессе, описанном выше, средняя значений AS предполагалась равной нулю, следовательно, в среднем будущая цена не будет отличаться от настоящей.

3. В процессе Винера предполагается, что абсолютные изменения в цене AS независимы от величины S. Однако в реальности это не совсем так. Абсолютное изменение цены более дорогого актива будет ожидаться в среднем большим, чем абсолютное изменение более дешевого актива. Мы скорее будем ожидать, что пропорциональные изменения в цене актива AS/S будут независимы от S, пропорциональные или процентные изменения могут быть одинаковыми независимо от цены актива. Более того, как показатель важности данного