Применим это к нашей задаче минимизировать

Z= 0,00015 W} + 0,00025 W} + 0,00010 W} + 0,00010 WaW„-

Отсюда, лагранжиан имеет вид:

ШЖ>& = 0,00015 Wl + 0,00025 W} + 0,00010 W} + 0,00010 Wa Wb-

Q№MWaWc-Q,mQ6WbWc-Xx(Wa+ fV„ + fV-l)-

(0,11»; + 0,15»; + 0,08-0,11).

Найдем частные производные и приравняем их к нулю (заметьте, что WTQiFдифференцируется до 201либо это можно сделать почленно. Мы выбираем последнее)

dL/oWa = О.ОООЗОИ/, + 0,00010 И/4-0,00014И/-я,-0,1 1Я2 = 0 dLldWb = 0,00050 Wb + 0,00010 И,-0,00006 Ис-Я, -0,15Я2 = 0 dLI&Wc = 0,00020 И/-0,00014И/в-0,00014й,-я1-0,08Я2 = 0,

помня об ограничениях

Таким образом, мы имеем пять уравнений с пятью неизвестными. Решим эту систему уравнений, используя ту же матричную алгебру, что и в гл. 6 при решении систем уравнений для модели множественной регрессии. Однако здесь задача более проста, так как матрица Q симметрична, она имеет размер 5x5.

Сначала частные производные и ограничения выражаются в формате матрицы

0,00014 Wa И-О.ООООб wb we

K+wb+wc=i

0,11»; + 0,15»; -f 0,08»; = 0,11.

К + wb + и/ = 1

0,1 \Wa + 0,15И **~ 0.08И< = 0,11

0,00030 Wa + 0,00010 Wb - 0,00014 Wc - Я, 0,00010И/ + 0,00050 И/А-0,00006 и/-я, -0,00014 Wa - 0,00014 Wb + 0,00020 Wc - Я,

0,11Я2 0,15Я2 0,08Я2 ОЯг 0Я2

\wa \wb \wc оя,

0,11 И/ 0,15И/6 0,08 И/ 0Я,

0,11.

Затем мы располагаем левосторонние элементы в матрицу 5x5, за которой следует вектор переменных 5x1, включающий X. Справа мы располагаем единичную матрицу и вектор 5x1, отражающий правую сторону дифференцированного выражения:

Начнем с умножения первых строк обеих матриц на 3333,33 для приведения элемента в левом верхнем углу к 1.

В следующем шаге отнимем 0,00010 раз новую первую строку от вторых строк с обеих сторон. Затем добавим 0,00014 раз новую первую строку к третьим строкам с обеих сторон, потом отнимем 1 раз новую первую строку от четвертых строк и в завершение отнимем 0,11 раз новую первую строку от пятых строк с обеих сторон. В результате первый столбец в левой матрице содержит 1 в качестве верхнего элемента и 0 для всех остальных, отсюда

0,3333 0,000466 -0,000013 0,9999 0,11333

- 0,46666 -0,000013

0,00020 1,46666 0,13133

3333,3

- оззззз

-0,46666

- 3333,33 366,666

- 3333,33

- 0,66666 -1,4666 33333 366,666

- 366,66 -0,11333

0,131333 366,666 40,3333

о о о 1

0,11

Продолжим похожим способом, сначала умножая вторые строки так, чтобы второй элемент во втором столбце левой матрицы (0,000466) стал единицей, и затем вычитая или прибавляя произведения второй строки, чтобы обратить остальные элементы второго столбца в нули. Повторение этого процесса для третьего, четвертого и пятого столбцов левой матрицы приводит к преобразованию ее в единичную матрицу, в то время как проведение действий над правой матрицей производит кратную обратную. В конце мы приходим к

16,0976 -11,8699 0,01542 0,15837

0,288 и Wc = 0,384 (при k\ =

0 0 0 1 0 0 0 0 1

- 1138,21 0,79350

487ДО5 -1,48293

650,407 1,68943

-1,68943 0,00155

11,8699 - 0,01542

получая результат Wa = 0,328, Wb -0,000157 и Д2 = 0,002).

Конечно, вычисления, описанные выше, очень утомительны, и практически невозможно провести их вручную без ошибок (даже используя калькулятор). Существует много эффективных компьютерных методов, чтобы выполнить эту задачу, и мы могли бы использовать электронные таблицы. Однако можно применить и пакет линейного программирования, если целевая функция просто выражена в какой-либо искусственной форме, и ограничения выглядят так:

-0,00014»; -Aj-0,1U2 =0 - 0,00006Wc -А,- 0,15А2 =0 + 0 00020 W. - Я, - 0.08Л-, = 0 + 1 Wc ОЯ1 0Я2 = 1

+ 0,08»; ОЯ1 0Я2 =0,11.

В действительности пакет линейного программирования просто используется для нахождения возможного решения системы уравнений. Так как уравнений столько же, сколько неизвестных, обычно будет существовать единственное возможное решение, которые и должно быть оптимальным.

о.ооозо»; +0,00010»

0,00010 Wa + 0,00050» -0,00014Wa -0.000\AWh

\wa + \wb 0,11 wa + 0,15»;

Квадратическое программирование с неравенствами

При практическом применении задачи выбора портфелей часто могут включать некоторое количество ограничений в виде неравенств, обычно устанавливающих пределы для инвестирования в