Финансы

В нашем конкретном случае

(9.31)

где > *

йШ) - » + w„ + w-\

&СЮ = 0,11 И/ + 0,15 Wb + 0,081Ve-0,11 Построим лагранжиан: L(W,A), где ДЖ ) =

£(lT)x) = Z-5]/;ft( .). (9.32)

Я,- - это множители Лагранжа.

Следовательно, лагранжиан строится посредством вычитания из первоначальной целевой функции всех отдельных функций ограничений, которые были помножены на соответствующие им множители Лагранжа.

Заметьте, что сейчас мы имеем функцию n + т переменных. Найдем л частных производных по переменным х, (замечание: мы не определяем т частных производных для множителей Лагранжа, потому что частные производные по Я только лишь возвращают нас к уже имеющимся ограничениям в виде равенств). Затем попробуем найти x;S и As, которые превращают эти частные производные в ноль и одновременно удовлетворяют ограничениям в виде равенств. Отсюда мы имеем систему л + т уравнений с n + т неизвестными. Так как число уравнений и неизвестных равно, мы можем найти решение через постановку и решение задачи, представленной системой уравнений.

Однако существует или нет решение зависит от того, являются ли ограничения противоречивыми. Если одно ограничение гласит, скажем, *2о < 50,а другое - *2о > Ю0, то ясно, что решения не существует, но в большой и сложной задаче подобные несоответствия заметить бывает очень трудно. В зависимости от сложности функции L мы можем найти решение аналитически или с использованием численного метода при условии, что решение существует.

0,00030 Wa + 0,00010 Wb - 0.00014И/ - Я, - 0,11Я2 = 0,00010 Wa + 0,00050 W4- 0,00006 Wc- Я, -0,15Я2 = -0,00014-0,000141 + 0,00020Wc-Я, -0,08Я2 = \Wa \Wb \WC 0Я, ОЯг =

0,11 Wa 0,l5W4 0,08 W. 0Я, 0Я2 =

Применим это к нашей задаче инимизировать

Z= 0,00015 W} + 0,00025 W} + 0,00010 W} + 0,00010 W„Wb-0,00014 Wa -0,00006 W„ We

К + w4 + we = l

0,11»;+ O,1504 + O,O8WC = 0,11.

Отсюда, лагранжиан имеет вид:

ДЖЯ) = 0,00015 W% + 0,00025 + 0,00010 W} + 0,00010 W„W„-

0,00014 ии-О.ООООбиИ-я W„ + Wb+ Wc-\)-

X2(0,UWa + 0,15 0 + 0,08-0,11).

Найдем частные производные и приравняем их к нулю (заметьте, что W TQiFдифференцируется до 2П1Рлибо это можно сделать почленно. Мы выбираем последнее)

dL/dWa = 0,00030 Wa + 0,00010 N-0,00014 и/-Я,-0, ш2 = 0 dL/dWb = 0,00050 + 0,00010 И,-0,00006 »с-Aj-0,15Я2 = 0 dLldWc = 0,00020 -0,00014 И/ 0,00014-Я,-0,08Я2 = 0,

помня об ограничениях

и/ + w„ + и/ = 1 0,11 Wa + O.ISW-1- 0.08И/ =0;11

Таким образом, мы имеем пять уравнений с пятью неизвестными. Решим эту систему уравнений, используя ту же матричную алгебру, что и в гл. 6 при решении систем уравнений для модели множественной регрессии. Однако здесь задача более проста, так как матрица С1 симметрична, она имеет размер 5x5.

Сначала частные производные и ограничения выражаются в формате матрицы

0 0 0 I

0,11.

В нашем конкретном случае

(9.31)

где %

i B- % + &Ш) = 0,11 + 0,15 Wb + 0,08 и/ 0,11 Построим лагранжиан: ц К ), где =

4 £ = Z-£/,ft( ). (9.32)

Д, - это множители Лагранжа.

Заметьте, что сейчас мы имеем функцию n + т переменных. Найдем п частных производных по переменным ху (замечание: мы не определяем т частных производных для множителей Лагранжа, потому что частные производные по Я только лишь возвращают нас к уже имеющимся ограничениям в виде равенств). Затем попробуем найти х, и Я$, которые превращают эти частные производные в ноль и одновременно удовлетворяют ограничениям в виде равенств. Отсюда мы имеем систему n + т уравнений с n + т неизвестными. Так как число уравнений и неизвестных равно, мы можем найти решение через постановку и решение задачи, представленной системой уравнений.

Однако существует или нет решение зависит от того, являются ли ограничения противоречивыми. Если одно ограничение гласит, скажем, х2$ < 50,а другое - x2q > 100, то ясно, что решения не существует, но в большой и сложной задаче подобные несоответствия заметить бывает очень трудно. В зависимости от сложности функции L мы можем найти решение аналитически или с использованием численного метода при условии, что решение существует.