назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [ 148 ] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]


148

чтобы определить, какая доля портфеля должна быть отведена для каждой из инвестиций так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска оптимально соответствовали целям инвесторов. Предположим, что цель инвестора состоит в минимизации риска портфеля, где риск измеряется дисперсией портфеля.

На практике инвестор обычно устанавливает ограничения относительно способа, по которому может быть построен портфель. Например, целевой функцией может быть минимизация риска, но при каком-то минимальном уровне дохода, а также при ограничениях на минимальные и максимальные доли, которые могут быть инвестированы в каждый актив. Как поступать с этими ограничениями - объясним позже.

Сейчас же проиллюстрируем портфельную задачу, рассмотрев оптимизацию при ограничениях для случая портфеля из трех активов.

Риск и доход для портфеля из трех активов а, Ь и с и их весами, обозначенными как Щ, определяются следующим образом. Математическое ожидание дохода

Щ) = »Vk + Wt + Щге (9.27)

Дисперсия портфеля составляет

.2

+ Wl oj + Wi с,

2 2

(9.28)

+ 2Wa Щст + 2И/и/(СОувс)

Как было объяснено ранее, эта дисперсия портфеля может быть выражена с помощью векторов весов и матрицы дисперсий и ковариации. Выразив дисперсию портфеля через Z, получим:

var„ covoA cov." cov4fl var4 cov4c covCfl covc4 varc

Z = [Wa Wb Wc\

К Wc

(9.29)

оптпмпздипя

ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ

Требования инвестора обычно ограничивают процесс выбора. Например, инвестор может потребовать минимизации риска при ожидаемом доходе не менее или равном данному уровню.



Портфельная задача, таким образом, состоит в минимизации дисперсии портфеля при каком-то минимальном уровне дохода. Как мы видели выше, дисперсия портфеля Z может быть выражена как произведение транспонированного вектора W, т.е. WT. дисперсионно-ковариационной матрицы Q и вектора W, т.е. W. Следовательно, поставленная -задача является задачей квадратического программирования и может быть формально записана как

минимизировать 2= WJ&.W

при Wa + Wb + Wc = 1 (9.30)

WaE(ra) + WbE(rb) + WcE(rc)zR,

где R -это минимальный приемлемый уровень дохода.

Замечание: при матричном отображении выделение выражений жирным шрифтом и их подчеркивание как W означает, что эти выражения представляют собой векторы.

Проиллюстрируем процесс оптимизации примером трех активов.

Приложение квадратического программирования к задаче выбора портфеля из трех активов - нахождение оптимального (с минимальной дисперсией) портфеля

Предположим, что мы имеем три актива - А, В и С с ожидаемыми доходами 0,11, 0,15 и 0,08 соответственно. Дисперсионно-ковариационная матрица, которая будет обозначена как Q, имеет следующий вид:

А В С

А [0,00015 0,00005 -0,00007 В П= 0,00005 0,00025 - 0,00003 С [- 0,0007 -0,00003 0,00010

Мы хотим найти пропорции Ws для инвестирования в каждый актив, чтобы получить требуемый доход 11% при минимальной дисперсии, т.е. найти W (т.е. [ИИИ]1) для решения следующей задачи

минимизировать Z= W1£iW

при Wa + Wb + Wc = 1

0,11 Wa + 0,l5Wb + 0,08 И/ = 0,11.



В данном примере мы предполагаем, что отрицательные позиции по активам невозможны. Составляющие дисперсии Z = = WjClJV перемножаются, чтобы получить

0,00015

0,00005

- 0,00007

Z = [Wa Wb Wc)

0,00005

0,00025

- 0,00003

- 0,0007

- 0,00003

0,00010

( - W} o2a + W} cl + W} a2. + 2WaWbCOvM + IWfOi* + IWbWfiOVb) = 0,00015 И2 + 0,00025 W* + 0,00010 Wc2 + 0,00010»-- 0,OOOl4WaWc-0,00№WbWc

Таким образом, наша оптимизационная задача в итоге выглядит как

минимизировать

z= 0,00015 w} + 0,00025 w} + 0,00010 w} + 0,00010 We W4-0,00014-0,00006

o,uwa + o,isw4 + 0,08»; = 0,11

Оптимизация при ограничениях в випе равенств: использование множителей Лагранжа

Так как наша задача в приведенном выше виде содержит ограничения только в виде равенств, она может быть решена с использованием множителей Лагранжа, одного для каждого ограничения. Применение множителей Лагранжа к оптимизации при одной переменной было описано в гл. 3.

Вспомним, что, когда множители Лагранжа применяются в случае одной переменной, сначала ограничение приравнивается нулю и затем прибавляется к оптимизируемой функции

минимизировать Z = AJV) (подчеркивание выделенного жирным W

указывает, что фактически W - это вектор, например, л активов)

при g(W) = Q (тот факт, что g выражено в виде вектора,

показывает, что существует несколько, скажем, т равенств. Заметьте, что т < л).

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [ 148 ] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]