вычитания соответствующих кратных количеств основной строки (заметьте: мы используем новые значения основной строки, т.е. после того как основа была приведена к единице). Таким образом, для преобразования 0,1 вверху основного столбца в ноль мы отнимаем 0,1 раза основную строку от каждого соответствующего элемента верхней строки. Чтобы трансформировать -0,03 в ноль, прибавим 0,03 раза основную строку к каждому элементу нижней строки. Получилась такая таблица:
| | | | | |
ограничение 1 | | | | -0,1 | |
ограничение 2 | | | | | |
целевая функция | | -0,04 | | 0,03 | 0,03 |
-индикаторы-►
Для толкования этого решения заметьте, что переменные, являющиеся базисными, будут иметь значения, которые даны соответствующими элементами с правой стороны. Все значения других переменных будут равны нулю. Следовательно, целевая функция (Z) имеет величину 0,03 (без учета постоянной 0,08), Wa равна единице, s\ равна 0,1, в то время как Щ и s2 имеют нулевые значения.
На то, что поиск оптимального решения еще не завершен, указывают индикаторы, а именно - один индикатор со знаком "минус".
Поэтому повторим процесс. Во второй таблице мы видим, что основным является столбец, в котором нижний элемент равен -0,04. Проверяя соотношения, мы находим основу, равную 0,2 в верхней строке ограничений, которая отсюда становится основной строкой. Для преобразования основы в единицу мы делим все элементы основной строки на 0,2. Затем трансформируем все остальные элементы основного столбца в нули, вычитаем заново преобразованную основную строку из нижнего ограничения и прибавляем 0,04 раза новую основную строку к целевой функции. Получившаяся таблица имеет вид:
| | | | | |
ограничение 1 | | | | -0,5 | |
ограничение 2 | | | | | |
целевая функция | | | | 0,01 | 0,05 |
-индикаторы-*•
Заметьте, что и Wa и W/, теперь являются базисными и что обе свободные переменные стали небазисными.
Теперь рассмотрим целевую функцию. Она выражается как Z= 0,05-0,2s\-0,012- Однако вспомним постоянную 0,08, следовательно, реально она выражается как
максимизировать -
Z= 0,13-0,25,-0,0152
Wb + 55,-0,5.у2 = 0,5 (9.22)
Wa-Ssx + 1,5*2 = 0,5.
Но свободные переменные являются небазисными и поэтому имеют нулевые значения.
Поскольку Z= 0,13-0,25i-0,0l52 и мы имеем точку возможного решения, в которой и 5, и 52 равны нулю, лучшего не добиться - мы нашли оптимальную точку.
Нулевые значения 5, и 55 свидетельствуют, что ограничения, относящиеся к этим расхождениям/избыткам, являются "жесткими". В большей задаче с большим числом ограничений значения других свободных переменных не будут ненулевыми и дадут нам уровень, до которого соответствующие ограничения "ослаблены". Более того, коэффициенты 5, и 52 в целевой функции (0,2 и 0,01 соответственно) показывают нам предельную стоимость ослабления соответствующих ограничений (что часто приводит к. задействованию дополнительных ресурсов).
Однако вспомним, что первоначальной задачей было создание портфеля из трех активов - А, В и С. Решение, найденное выше, показывает, как и графическое решение, что оптимальный портфель содержит только активы А и В.
Как можно видеть, симплексный метод выражает алгебраически процесс перехода от вершины к вершине области возможных решений, где движение всегда предпринимается в направлении увеличения величины целевой функции (заметьте, что существуют случаи исключений, в которых величине целевой функции позволяется оставаться постоянной при шаге). Преимущество переключения с геометрии на алгебру состоит, конечно, в том, что алгебра действует при 200 измерениях так же, как и при двух, а графические изображения представить гораздо сложнее!
ПОСТРОЕНИЕ ПОРТФЕЛЕЙ ОЛЯ МИНИМИЗАЦИИ ОБШЕЙ ДИСПЕРСИИ
САРМ предполагает, что только систематический риск каждого отдельного актива важен при построении портфеля. Однако модель, первоначально разработанная Марковицем (1952) и до сих пор широко применяемая, использует общий риск каждого отдельного актива. Следовательно, при построении портфелей и определении общего риска портфеля должны рассматриваться ковариации в каждой паре потенциальных для портфеля активов.
Из гл. 4 мы узнали, что, когда доходы по рискованному активу являются случайными переменными, доходы по портфелю - это взвешенная по стоимости средняя доходов по отдельным активам, т.е.
*, « (9-23)
Однако среднее квадратическое отклонение портфеля не равно взвешенной по стоимости средней из средних квадра-тических отклонений отдельных ценных бумаг, потому что должна быть учтена ковариация в каждой паре активов. Для иллюстрации этого среднее квадратическое отклонение портфеля из двух активов составляет
<ур - ♦ wfal + lWMfawt), (9.24)
где оу- среднее квадратическое отклонение портфеля; wa и Щ- веса активов а и b в портфеле; сг2 и а - дисперсии доходов по активам А и В; д,ь - корреляция доходов по активам А и В; аа и оь - средние квадратические отклонения доходов по а и Ь; (й,ь°ааь) - ковариация доходов по активам А и В.
Выражение (9.24) может быть обобщено:
°-р = 1Х°,?+1 t W.WjOij, (9-25)
i=l /-1 j=l,i*j
где о~у - ковариация в портфеле в парах активов.