доходы составляют 0,11, 0,15 и 0,08 соответственно. В для САРМ равны 1, 1,2 и 0,9 соответственно. Доли каждого из активов в портфеле обозначаются как Wa, Щ и Wc. Значения этих весов устанавливаются портфельным менеджером и являются переменными, которые могут корректироваться для достижения цели. Ожидаемые доходы и значения В различных активов зафиксированы с точки зрения портфельного менеджера, потому что они определяются рынком. Однако доходы и величина р портфеля могут формироваться портфельным менеджером посредством подбора доли каждого из активов в портфеле. Цель состоит в том, чтобы найти те комбинации весов, которые максимизируют целевую функцию при ограничениях.
Таким образом, задача заключается в определении оптимальных пропорций (весов) каждого из активов, которые приведут к максимальному ожидаемому доходу при условии данного максимального уровня риска (р). Эта задача может быть сформулирована математически следующим образом.
иелевая фуикипя
Максимизировать (доход)
0,11 И/ +0,15И + 0,08 И/. (9.8)
Так как доход по каждому активу предопределен, только веса могут быть изменены для достижения целевой функции.
Ограничения
Мы заметили выше, что р портфеля не должна превышать 1,1 - это первое ограничение. В данном примере в каждый актив обязательно должны быть проведены положительные инвестиции - это второе ограничение. И все средства должны быть полностью инвестированы - это третье ограничение. Таким образом, целевая функция и ограничения имеют вид, указанный ниже.
Максимизировать (похон) при
1. Wa + \,2Wb+ 0,9Й<1,1 (р портфеля не должна превышать 1,1) (9.9)
2. 0 И/<1
OWl (все активы должны иметь неотрицательные веса) (9.10) OWl
3. Wa + Wb+ Wc= \ (средства должны быть полностью
инвестированы) (9.11)
Заметьте, что все ограничения линейны (т.е. нет величин во второй или более высоких степенях) и одновременно присутствуют ограничения в виде равенств и неравенств.
Мы продемонстрируем приложение линейного программирования, показав, как вышеозначенная задача решается сначала графически, а затем симплексным методом.
Графическое решение
Для иллюстрации графического решения мы используем третье ограничение, чтобы исключить Wc и тем самым получить задачу с двумя переменными. Это возможно, потому что в каждой портфельной задаче, где средства полностью инвестируются в портфель, если мы знаем я-1 весов, то можно определить л-ный вес. Так как все веса должны в сумме дать единицу, то л-ный вес равен
Заметьте, что этот переход от трех к двум переменным происходит только по причине облегчения графической демонстрации метода. Задача в том виде, в котором она была сформулирована, будет скорее всего передана ЛП - пакету в ее первоначальной форме - преобразования, сокращающее число переменных, обычно не проводятся.
Используя ограничение Wa + Wb + Wc = 1 для замены Wc на \-Wa-Wb, переопределим целевую функцию: максимизировать
0,11 Wa + 0,15 Wb + 0,08( 1 - Wa- Щ = 0,03 Wa + 0,07 Wb + 0,08 (9.12)
1 Wa + \,lWb + 0,9(1-И/-И/6) * i,i
0 <, Wa 1 (9.13)
0<L\Vb<L\
Если считать вес актива С как остаток, мы можем максимизировать следующую целевую функцию:
Когда мы найдем оптимальные веса для А и В из этой функции, мы сможем вычесть сумму этих весов из целого и найти вес актива С.
Заметьте, что "+0,08" является константой. Как таковую нам не нужно включать ее в функцию для максимизации, потому что, если мы найдем значения Wa и Wb, которые максимизируют 0,03 Wa + 0,07 Wb, то найдем и значения, максимизирующие 0,03 Wa + 0,07 Wi, + 0,08. Поэтому, как только мы максимизируем 0,03 Wa + 0,07 Wb, то сразу же следует прибавить константу 0,08.
Так как мы заменили выражение для С в целевой функции, необходимо сделать то же самое и с ограничениями. Следовательно, ограничения становятся следующими
Заметьте, что как и в целевой функции, мы удалили величину В актива С из В активов А и В. Мы также устранили влияние В актива С на максимальное В портфеля.
При нахождении графического решения (рис. 9.1) мы стремимся определить "область возможных решений" между двумя осями, которыми в данном примере являются Wa и W
По второму ограничению максимальная пропорция, которую мы можем инвестировать в А, составляет 100% или единицу. Это показано точкой N. Аналогично точка А" отражает 100% портфеля, инвестированные в актив В. Так как и Wa, и Wb должны быть меньше или равны единице, вертикальная и горизонтальная линии проходят через соответствующие оси. Однако эти ограничения перекрываются тем, что требуется, чтобы Wa + Wb было меньше или равно единице. Чтобы понять расположение этого ограничения, допустим, что 100% инвестировано в А и ничего в В, тогда ограничение будет находиться в точке N. Если бы 100% было инвестировано в В и ничего в А, ограничение
максимизировать 0,03 и/ + 0,07%.
(9.14)
0,1 И/, + 0,3WU 0,2 0< Wa< 1 0< Wb<, 1 0 И/ + Wb< 1.
(9.15)