назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [ 143 ] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]


143

доходы составляют 0,11, 0,15 и 0,08 соответственно. В для САРМ равны 1, 1,2 и 0,9 соответственно. Доли каждого из активов в портфеле обозначаются как Wa, Щ и Wc. Значения этих весов устанавливаются портфельным менеджером и являются переменными, которые могут корректироваться для достижения цели. Ожидаемые доходы и значения В различных активов зафиксированы с точки зрения портфельного менеджера, потому что они определяются рынком. Однако доходы и величина р портфеля могут формироваться портфельным менеджером посредством подбора доли каждого из активов в портфеле. Цель состоит в том, чтобы найти те комбинации весов, которые максимизируют целевую функцию при ограничениях.

Таким образом, задача заключается в определении оптимальных пропорций (весов) каждого из активов, которые приведут к максимальному ожидаемому доходу при условии данного максимального уровня риска (р). Эта задача может быть сформулирована математически следующим образом.

иелевая фуикипя

Максимизировать (доход)

0,11 И/ +0,15И + 0,08 И/. (9.8)

Так как доход по каждому активу предопределен, только веса могут быть изменены для достижения целевой функции.

Ограничения

Мы заметили выше, что р портфеля не должна превышать 1,1 - это первое ограничение. В данном примере в каждый актив обязательно должны быть проведены положительные инвестиции - это второе ограничение. И все средства должны быть полностью инвестированы - это третье ограничение. Таким образом, целевая функция и ограничения имеют вид, указанный ниже.

Максимизировать (похон) при

1. Wa + \,2Wb+ 0,9Й<1,1 (р портфеля не должна превышать 1,1) (9.9)

2. 0 И/<1



OWl (все активы должны иметь неотрицательные веса) (9.10) OWl

3. Wa + Wb+ Wc= \ (средства должны быть полностью

инвестированы) (9.11)

Заметьте, что все ограничения линейны (т.е. нет величин во второй или более высоких степенях) и одновременно присутствуют ограничения в виде равенств и неравенств.

Мы продемонстрируем приложение линейного программирования, показав, как вышеозначенная задача решается сначала графически, а затем симплексным методом.

Графическое решение

Для иллюстрации графического решения мы используем третье ограничение, чтобы исключить Wc и тем самым получить задачу с двумя переменными. Это возможно, потому что в каждой портфельной задаче, где средства полностью инвестируются в портфель, если мы знаем я-1 весов, то можно определить л-ный вес. Так как все веса должны в сумме дать единицу, то л-ный вес равен

Заметьте, что этот переход от трех к двум переменным происходит только по причине облегчения графической демонстрации метода. Задача в том виде, в котором она была сформулирована, будет скорее всего передана ЛП - пакету в ее первоначальной форме - преобразования, сокращающее число переменных, обычно не проводятся.

Используя ограничение Wa + Wb + Wc = 1 для замены Wc на \-Wa-Wb, переопределим целевую функцию: максимизировать

0,11 Wa + 0,15 Wb + 0,08( 1 - Wa- Щ = 0,03 Wa + 0,07 Wb + 0,08 (9.12)

1 Wa + \,lWb + 0,9(1-И/-И/6) * i,i

0 <, Wa 1 (9.13)

0<L\Vb<L\



Если считать вес актива С как остаток, мы можем максимизировать следующую целевую функцию:

Когда мы найдем оптимальные веса для А и В из этой функции, мы сможем вычесть сумму этих весов из целого и найти вес актива С.

Заметьте, что "+0,08" является константой. Как таковую нам не нужно включать ее в функцию для максимизации, потому что, если мы найдем значения Wa и Wb, которые максимизируют 0,03 Wa + 0,07 Wb, то найдем и значения, максимизирующие 0,03 Wa + 0,07 Wi, + 0,08. Поэтому, как только мы максимизируем 0,03 Wa + 0,07 Wb, то сразу же следует прибавить константу 0,08.

Так как мы заменили выражение для С в целевой функции, необходимо сделать то же самое и с ограничениями. Следовательно, ограничения становятся следующими

Заметьте, что как и в целевой функции, мы удалили величину В актива С из В активов А и В. Мы также устранили влияние В актива С на максимальное В портфеля.

При нахождении графического решения (рис. 9.1) мы стремимся определить "область возможных решений" между двумя осями, которыми в данном примере являются Wa и W

По второму ограничению максимальная пропорция, которую мы можем инвестировать в А, составляет 100% или единицу. Это показано точкой N. Аналогично точка А" отражает 100% портфеля, инвестированные в актив В. Так как и Wa, и Wb должны быть меньше или равны единице, вертикальная и горизонтальная линии проходят через соответствующие оси. Однако эти ограничения перекрываются тем, что требуется, чтобы Wa + Wb было меньше или равно единице. Чтобы понять расположение этого ограничения, допустим, что 100% инвестировано в А и ничего в В, тогда ограничение будет находиться в точке N. Если бы 100% было инвестировано в В и ничего в А, ограничение

максимизировать 0,03 и/ + 0,07%.

(9.14)

0,1 И/, + 0,3WU 0,2 0< Wa< 1 0< Wb<, 1 0 И/ + Wb< 1.

(9.15)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [ 143 ] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]