Второй этап заключается в наращении текущей цены актива по случайной дневной ставке дохода для каждого дня торговли в течение срока действия опциона. В нашем примере мы допустили, что один год содержит 250 торговых дней. Так как эмпирическое распределение вероятностей относится к непрерывно наращенному доходу, цена актива наращивается следующим образом:

где г„ - случайное наблюдение однодневной ставки непрерывного наращения дохода, полученное согласно такому же эмпирическому распределению вероятностей, что и для данных основного актива.

Общий эффект этих 250 случайных наблюдений - это одно испытание. Мы должны повторить его много раз, чтобы снизить изменчивость нашей средней и привести в соответствие с требованиями точности. В этом примере мы решили, что для достижения достаточной точности средняя должна иметь ошибку менее 0,50. Годовая волатильность (изменчивость) основной переменной составляет 15,9%. Следовательно, годовое среднее квадратическое отклонение для актива с ценой 1000 единиц равно 159. Поэтому стандартная ошибка полученной средней не будет превышать 159/л/я, где п - количество испытаний (чем выше цена исполнения, тем ниже фактическая стандартная ошибка). Для того чтобы снизить ее до 0,50, п должно быть равно 125000.

Заметим, что правило определения количества испытаний может быть выражено как:

где se - требуемая стандартная ошибка.

Таким образом, процесс был повторен 125000 раз, предоставляя 125000 альтернативных значений Sf.

Затем мы должны применить к опционам те же ограничивающие условия, что и в биномиальной модели, т.е. стоимость опциона на покупку во время Г будет Cf = maxlSj-Х,0]. Эти ограничивающие условия применяются к каждому значению Sf, а затем находится средняя всех 125000 значений Cf, которая при дисконтировании дает стоимость опциона.

ST =S0en •е2-...-е250. Ранее мы заметили, что это то же самое, что и

ST =50е(г+г2+-+),

(8.50)

Результатом наших 125000 испытаний модели является цена опциона 93,52. Биномиальная модель, состоящая из 100 испытаний, или модель Блэка-Сколса, которая будет обсуждена в гл. 10, дают значение 93,03. Как видно из рис. 8.12, наш моделируемый опцион может иметь меньшую цену, чем та, которая была получена из уравнения Блэка-Сколса: эмпирическое распределение немного смещено вправо, а также немного приподнято над значением средней. Так как мы определяем стоимость опциона на покупку, это будет иметь эффект небольшого уменьшения стоимости.

Выбор 125000 испытаний был обусловлен расчетом стандартной ошибки будущей цены актива. Однако требуемая стандартная ошибка цены опциона будет меньше, чем стандартная ошибка цены актива вследствие применения ограничивающих условий к опциону (тах[£- Х,0]). В результате это приведет к более узкому размаху конечных величин. Среднее квадратическое отклонение 125000 цен опциона было 125, тогда

St VJ25000 353,55

Мы можем сказать с уверенностью 95%, что реальная цена опциона составляет 93,52 плюс/минус 0,7 (т.е. две стандартные ошибки).

УПРАЖНЕНИЯ

1. Облигация имеет срок погашения 2,5 года. По ней выплачиваются полугодовые купоны в 5 единиц. Облигация будет выкуплена по цене 100 единиц. Ее текущая цена составляет 102 единицы. Вычислите полный доход при погашении (gross redemption yield - GRY) для этой облигации, используя:

а) метод деления пополам;

б) метод Ньютона-Рафсона.

Сравните и сопоставьте эти два подхода.

2. Случайная величина X распределена как N (6,9). Следовательно, функция плотности вероятности для X:

Требуется оценить р(8 £ Х< 10) с помощью:

а) статистических таблиц;

б) правила трапеций для четырех интервалов;

в) правила Симпсона для четырех интервалов;

г) нахождения функции в виде многочлена.

3. Используя однопериодную биномиальную модель и нижеприведенные данные, убедитесь, что справедливая стоимость опциона на покупку равна 7,95.

Цена актива равна 75 единицам, цена исполнения - 50 единицам, процентная ставка - 10% годовых, срок действия 1 год. Цена актива будет двигаться вверх и вниз на 25% в течение одного года.

4. Убедитесь, что коэффициент хеджирования Н в примере выше равен 2.

5. Исходя из данных, приведенных ниже, постройте шестипериодную биномиальную модель и убедитесь, что справедливая цена опциона на покупку составляет 4,52 единицы.

Данные: цена актива - 35 единиц, цена исполнения - 35 единиц, волатильность - 20%, краткосрочная процентная ставка - 10% годовых, время до исполнения - один год.

6. Используя данные из вопроса 3, разработайте трехступенчатую триномиальную модель и убедитесь, что справедливая цена опциона равна также 4,52 единиц.

7. Кратко опишите пять этапов процесса моделирования методом Монте-Карло в приложении к ценообразованию опционов на актив, имеюший логнормальное распределение

8. Опишите антитетический метод случайной величины и метод контроля случайной величины как техники по сокращению дисперсии. Объясните преимущества и недостатки каждого из них при использовании метода Монте-Карло к ценообразованию опционов.

ОТВЕТЫ

К ИЗБРАННЫМ

ВОПРОСАМ

1. GRY определяется выражением х2- 1, где х - решение следующего уравнения:

102х5-5х4-Sx3-Зх2-5„-105 =0.