(8.45)

Из этого следует, что для того чтобы уменьшить среднее квадратическое отклонение в десять раз, необходимо увеличить количество испытаний в 100 раз. Альтернативным же подходом (чтобы сократить такое большое количество испытаний) является применение методов или техник по уменьшению дисперсии. Таких методов было разработано несколько, мы же обсудим два:

• антитетический метод случайной величины,

• метод контроля случайной величины.

Антитетический метод случайной величины

Метод заключается в следующем. Каждый раз, когда генерируется случайная переменная г, рассчитывается дополняющее ее значение (1-г), которое используется для осуществления параллельного испытания. Таким образом, если входная переменная довольно велика по величине, в параллельном испытании входная переменная будет довольно мала. Как правило, это ведет к значениям по каждому испытанию, которые отрицательно коррелируемы.

Для оценки средней будем использовать выражение S = (S\ + S2)/2, где Si и S2 - результаты параллельных испытаний. Дисперсия S тогда будет (D(SX) + D(S2) + 2cov(Si + 5г))/4. При отсутствии отрицательной корреляции D(S) = (D(»Si) + D(S2))/4. Но в случае отрицательной корреляции S\ и S2 будут иметь отрицательную ковариацию, которая уменьшит дисперсию.

Метод контроля случайной величины

Идея, лежащая в основе метода контроля случайной величины, заключается в нахождении переменной, сходной с моделируемой переменной, значение которой известно. Обозначим эту переменную я.

Следующий шаг - использование такого же метода генерирования случайных чисел для моделирования я, что и для моделирования St- Предположим, что полученный результат h. Таким образом, одно и то же случайное число используется для

генерирования выборки S и выборки А. Хотя для получения обеих оценок используется одно и то же случайное число, они не будут одинаковыми вследствие различий в процессах получения /-и А.

Новая оценка S, обозначенная S* рассчитывается так:

S* = A+ ( -А). (8.46)

Дисперсия S* равна:

D(5*) = D( S) + D( A ) - 2cov( S, A ). (8.47)

Среднее квадратическое отклонение тогда составит:

D(5*) = D(S) + Dih)-2co\(S,h) , (8.48)

что будет меньше, чем Д5"*), если

D(A)

2D(5)

(8.49)

Таким образом, возможности уменьшения дисперсии с помощью метода контроля случайной величины зависят от того, удастся ли найти контрольную случайную переменную, которая была бы высококоррелируема с моделируемой переменной и в то же время имела сходное распределение вероятностей.

Применение метода Монте-Карло к ценообразованию опционов

Проиллюстрируем использование метода Монте-Карло для определения стоимости одногодичного опциона на покупку актива, имеющего распределение дохода, изображенное на рис. 8.12. Текущая цена актива равна 1000 единиц, цена исполнения опциона также составляет 1000 единиц, а безрисковая процентная ставка равна 6% годовых (непрерывно наращенная). Мы используем технику моделирования, поскольку, как видно из рис. 8.12, эмпирическое распределение вероятностей не является нормальным.

На первом этапе необходимо определить распределение. Используя наши данные, мы найдем, что средняя дневного дохода равна 0,000455, а среднее квадратическое отклонение дневного дохода - 0,0100694. Необходимо преобразовать равномерно распределенную случайную переменную в другую случайную пере-

меннуто с распределением, идентичным эмпирическому распределению актива. Результатом будет серия случайных наблюдений за дневным доходом.

В действительности мы не используем наблюдаемую среднюю дневную доходность г, мы осуществляем корректировку. Вспомним, что в биномиальной модели ценообразования опционов опцион был оценен в рамках нейтральности к риску, так как было допущено, что опционная позиция может быть идеально захеджирована. То же самое мы допускаем и в процессе Монте-Карло. Вследствие этого соответствующая непрерывно наращенная ставка дохода будет однодневным эквивалентом безрисковой ставки, относящейся к сроку действия опциона. Предположим, что ставка равна 6% годовых, поэтому следует скорректировать дневную непрерывно наращенную ставку. Для этого мы должны вспомнить, что нормальное распределение со средней ц и средним квадратическим отклонением а может быть трансформировано в логнормальное распределение со средней

ем+°-2/2 Следовательно, для того чтобы получить годовую ставку 6%, мы должны скорректировать дневной непрерывно наращенный доход г так, чтобы eM+<l2/2 = е0-06/250. Значит, г + 0,01006942/2 = 0,06/250, что дает г = 0,000189.

В результате текущая цена актива наращивается в соответствии с дневным эквивалентом 6% годовых, а распределение вероятностей сохраняет свою форму. В сущности эмпирическое распределение смешено влево, его форма не изменяется, а средняя становится меньше, что иллюстрирует рис. 8.14.

0,000189

0,000455

Доходы

Рис. 8.14. Преобразование распределения дохода