назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [ 132 ] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]


132

Оставив в левой части только RHc, получим:

-RHc = -RS + Su-Hcu. (8.26)

Умножим обе части равенства на -1, тогда

RHc = RS-Su + Ней. (8.27)

Разделим обе части равенства на RH и поменяем множители

местами:

Вспомнив, что

S(R - и) + Ней HR

S(u - d)

(8.28)

(8.29)

(си - cd)

подставим это выражение в (8.28) и после некоторых преобразований получим

(R-d) .(u-R) (и -d) (и- d)

(8.30)

что является уравнением опциона на покупку со сроком один год до момента исполнения.

Подставим числовые значения в полученное соотношение (си = 8,75, cd = 0, и = 1,25, d = 0,75, R = 1,1):

(1,25 - 0,75) (1,25 - 0,75) /1,1 = 5,57.

/1,1,

8,75 0

Мы можем упростить процедуру, допустив, что р = (R-d)/(u-d) и (1-р) = (u-r)/(u-d), тогда уравнение (8.30) примет вид

[реи + (1 - p)cd] R

(8.31)

с = [(8,75 - 0,7)+ (0,3 - 0)1/1,1 =5,57.

Следовательно, справедливой стоимостью опциона на покупку будет 5,57. Мы можем проверить, действительно ли это справедливая стоимость для данного опциона, так как этот портфель должен приносить доход согласно безрисковой процентной ставке, которая равна 10%.



Установленная стоимость портфеля - это (35-(2 • 5,57)) = 23,86. Эта сумма, инвестированная под безрисковую процентную ставку на один год, увеличится до 23,86 • 1,1 = 26,25, что является точной стоимостью захеджированного портфеля в конце года.

Ценообразование опционов на базе создания безрискового хеджа актива, лежащего в осно%е опциона, позволяет избежать зависимости цены опциона от ожиданий инвесторов относительно будущей цены этого актива. Все, что необходимо делать в этом случае, - поддерживать эффективность портфеля для того, чтобы он оставался безрисковым.

Многопериошая биномиальная мопель

В приведенном примере предполагалось, что время между настоящим моментом и моментом исполнения опциона было разделено лишь на один период, в нашем случае один год. Однако биномиальный подход может быть обобщен таким образом, что срок действия опциона может быть разделен на любое количество временных периодов или биномиальных испытаний. Чем больше количество испытаний за данный период, т.е. чем меньше временной период, соответствующий каждому испытанию, тем более точно определение стоимости опциона.

В самом деле, если временной интервал между испытаниями становится бесконечно малым, т.е. торговля в сущности происходит непрерывно, биномиальная модель становится моделью Блэка-Сколса (см. гл. 10).

Независимо от количества биномиальных испытаний используется один и тот же принцип для нахождения стоимости опциона в каждом узле дерева, начиная от момента исполнения опциона к настоящему временному периоду и, таким образом, к текущей цене опциона. Продемонстрируем эту процедуру в следующем примере, в котором цена актива S равна 35, цена исполнения А" составляет 35, годовая безрисковая процентная ставка равна 10%, а годовая волатильность (изменчивость) a - 20%; одногодичный временной период разделен на четыре квартальных подпериода или биномиальных испытаний.

Перед тем как увеличить количество биномиальных испытаний, годовую безрисковую процентную ставку необходимо скор-



ректировать в соответствии с более короткими временными промежутками между испытаниями. Например, в этой четырехквартальной модели должна быть задействована квартальная сложная процентная ставка, эквивалентная годовой. В этом случае квартальная сложная эквивалентная процентная ставка будет (1 + г)025-1, где г- годовая процентная ставка, т.е. (ll)0,25 i = о,024. Следовательно, R = 1 + г, в нашей четырехквартальной модели она составляет 1,024.

В некоторых случаях R может быть представлено как • (Т-М", где г - непрерывно наращенная ставка, эквивалентная безрисковой процентной ставке. В нашем примере 9,53% - непрерывно наращенная ставка, эквивалентная 10% годовых, т.е.

/f =е0,0953 0,25 = 1 024.

Кроме того, величины потенциального движения в сторону увеличения или уменьшения, т.е. величины и и d, которые относятся к волатильности актива, должны быть определены на основе рыночной информации и скорректированы в соответствии с количеством биномиальных испытаний. Кокс и др. (1979) показали, что иа d соотносятся со средним квадратическим отклонением следующим образом:

и = с"-)/" , (8.32)

где (T-t) - срок действия опциона в годах (или соответствующих долях лет), ал - количество биномиальных испытаний. В нашем примере срок действия опциона составляет один год, а количество квартальных биномиальных испытаний равно четырем, следовательно, (T-t)/n =0,25.

Обычно также требуется, чтобы и = l/d, благодаря чему движение цены вверх с последующим движением вниз равнозначно движению вниз с последующим движением вверх. В этом случае видоизмененное биномиальное дерево называется биномиальной решеткой.

Следовательно, движение вверх и вниз определяется изменчивостью переменной, средним квадратическим отклонением натурального логарифма отношений цен активов, т.е. средним квадратическим отклонением непрерывно наращенного дохода.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [ 132 ] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]