Таблица 8.2

Метод Ньютона-РаФсона

Метод Ньютона-Рафсона широко используется в итеративных процедурах и позволяет более быстро находить решения, чем метод деления пополам. Как и метод деления пополам, этот метод начинается с угадывания значения х. Пусть мы предполагаем х„. Тогда значение функции будет f(xn), оно также равно высоте вертикальной линии на рис. 8.2. Пусть касательная к кривой функции в точке (х„, Ахп)) пересекает ось х в точке хп+ \.

Вспомним, что в гл. 3, рассматривающей исчисления, мы встречались с понятием наклона кривой в точке, равного соотношению высота/интервал. Высота в нашем примере - этоУ(дги), а интервал - (х„-хп+\). Таким образом, зная длины сторон треугольника, можно найти наклон кривой:

Д Хп) =/(*„) (8.8)

Тогда

Лх„) =Пх„)(х„-х), (8.9)

xe+1=x-fixn)/f\x„). (8.10)

То есть результат каждой итерации находится через вычитание из результата по предыдущей итерации отношения функции Дх) к ее первой производной f(x). Однако это не срабатывает только тогда, когда случайным образом одна из хп является точкой, в которой f(x„) равно или близко к нулю (в этом случае, начав процедуру заново с того момента, когда произошел сбой, из новой точки, вы почти всегда решите возникшую проблему).

Рис. 8.2

Можно утверждать, что недостаток метода - необходимость предварительного нахождения f(x). Однако этого можно избежать, если заменить f(x) на конечное разностное приближение:

/(х + И) - Дх) И

(8.П)

где h очень мало и может уменьшаться при выполнении итерационного процесса. Следовательно, теперь в процесс может быть введен компьютер, чтобы рассчитать J[xn) и J[xn + h) (для текущих значений хп и я) и оценить

/(*«)

f(xn+h)-f(xn) И

(8.12)

Принимая во внимание сложность и продвинутость современных компьютерных алгебраических пакетов программ (которые должны были бы называться алгебраическо-вычи-слительными пакетами программ!), непосредственный расчет может производиться автоматически.

Теперь применим процедуру Ньютона-Рафсона к оценке облигации со сроком погашения 2,5 года. Мы уже отметили, что функция f(x) - 0 для этой облигации будет являться многочленом пятой степени, а именно:

Ах) = 98х5-5х4-5х3-5х2-5х-105 = 0. (8.13)

В начале итеративного процесса мы предполагаем, что х = 1,055. Заменив х на 1,055 в выражении (8.13), получим следующий результат:

fix) =98 • 1,0555-5 • 1,0554-5 • 1,0553-5 •

• 1,0552-5 • 1,055-105 =0,176625.

Мы должны скорректировать 1,055 в соответствии с результатом 0,176625 и значением первой производной функции (8.13) 551,2939. Тогда х\ - значение х во второй итерации равно

Повторное вычисление по формуле (8.12), но на этот раз для значения 1,054680 в качестве х, дает следующее:

fix) = 98 1,054680s-5 • 1, 0546804-5 • 1, 0546803-

-5 • 1, 0546802-5 • 1, 054680-105 =0,0001125. (8.14)

Далее мы корректируем 1,054680 в соответствии с результатом 0,0001125 и значением первой производной функции (8.14), равным 550,5916, и получаем х2 - значение х в третьей итерации:

Повторное вычисление по формуле (8.12) при х - 1,054679 дает

f(x) =98 • 1,054679s-5 • 1, 0546794-5 • 1, 0546793--5 • 1, 0546792-5 • 1, 054679-105 =0,000017.