назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [ 124 ] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]


124

В финансовом анализе часто встречается нелинейное уравнение, которое не может быть решено с помощью только одной формулы, - уравнение внутренней ставки доходности (IRR) для серии из пяти или более денежных потоков.

В гл. 1 мы узнали, что IRR - это ставка дисконтирования, которая приводит совокупность будущих денежных потоков к их текущей стоимости. Например, ставка, которая дисконтирует будущие купонные платежи и стоимость облигации при погашении к ее текущей рыночной стоимости, - это IRR. Она называется ставкой общего дохода или полным доходом при погашении.

Для того чтобы рассчитать ставку общего дохода, мы должны решить уравнение (представляющее собой многочлен), полученное исходя из расчета цены облигации. Рассмотрим, например, двухгодичную облигацию, по которой выплачивается годовой купон в размере 10% и оцененную в настоящее время в 100 единиц. Цена этой облигации будет определяться выражением:

Р= 10 110

0 + Г

Для того чтобы определить ставку общего дохода (или IRR), мы должны знать текущую цену или стоимость. Так, если текущая стоимость равна 100 единицам, уравнение принимает вид:

100 10 110

1 + г {1 + г)2

Это уравнение можно привести к многочлену степени, два (так как один из аргументов будет возведен в квадрат):

100х2-10х-110 =0,

где х = 1 + г. Этот тип уравнения известен также как квадратное уравнение. Для решения этого уравнения мы располагаем формулой:

-Ь± 4b2 - 4ас ,8

х =-г-. (8.1)

С помощью этой формулы находятся решения квадратных уравнений вида:

ах2 + Ьх + с = 0. (8.2)



Применив формулу к нашему уравнению, где a = 100, Ь = -10 и с = -110, получим следующие решения:

+ 10 + л/ю2+4100-110

2 100

+ 10 -VlO2 + 4 100 110

2-100 = 1,0 •

Экономическая теория не признает отрицательных процентных ставок, только положительное решение может иметь экономический смысл. Тогда (1 + г) = 1,1.

Возможно, хотя и не особенно полезно, решить также кубические уравнения или уравнения четвертой степени таким же образом, что и квадратные. Однако в этом случае процедура решения будет состоять из алгоритма, а не из простой формулы (кубические уравнения в действительности гораздо труднее квадратных и требуют для полного описания нескольких страниц). Несколько столетий математики пытались разработать аналогичные алгоритмы для уравнений пятой степени (их общая форма: ах5 + Ьх4 + схг + ах2 + ex + f = 0) и уравнений более высоких степеней, но только в 1846 г. было доказано, что таких алгоритмов не существует.

Тем не менее, подобные уравнения играют важную роль в финансовом анализе. Например, чтобы найти IRR для облигации со сроком погашения всего 2,5 года и купонами, вы плачиваемыми раз в полгода, мы должны решить следующее уравнение:

(1+г)0-5 0") + (1 + г)*+(1+г)2 (1+г)2-5- (8Л)

Для того чтобы привести уравнение к многочлену пятой степени, сначала преобразуем искомую IRR в соответствующий полугодовой эквивалент, т.е. (1 + г)0,5. Обозначив зто через х, получим:

= Т + £г + % + % + % <8-4)

* X X X X

Умножив обе части уравнения на х5, получим:

Рх5 = С,У + CiX3 + Сух2 + Qx + С5. (8.5)



Заметим: (С\/х) • х5 = Схх*.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и получим:

Лс5- С,*4- <V- С3Х2- С4х- С5 = 0. (8.6)

Поясним это на численном примере. Так, для облигации со сроком погашения 2,5 года, по которой выплачиваются полугодовые купоны в размере 5 единиц, текущая стоимость равна 98 единицам. Уравнение для данной облигации будет:

0с 5 5 5 5 105

-(l + r)W (l + r)+{l + r).5+(l + /.)2+(l + r)2,5-

Для того чтобы получить уравнение в виде многочлена, необходимо преобразовать (1 + г) в полугодовой наращенный эквивалент, как было показано выше. Получим:

98х5-5х4-5х3-5х2-5х-105 =0.

Для решения этого уравнения, т.е. для нахождения (1 + г), мы должны использовать метод проб и ошибок. Вспомним, что х - это (1 + г)0-5, следовательно, мы должны возвести найденное значение х в квадрат, чтобы получить (1 + г).

Возникает вопрос, как использовать итерационные процедуры для нахождения "неуловимого" (1 + г). Существует несколько подходов, но все начинается с догадки относительного искомого значения, а затем осуществляется поиск решения с необходимой степенью точности. Приведем два итерационных метода. Начнем с метода деления пополам (bisection), а затем переидем к методу Ньютона-Рафсона (Newton-Raphson).

Метод деления пополам

Вспомним, что мы пытаемся решить уравнение вида f(x) = 0. В качестве простого, хотя и не финансового, примера для иллюстрации метода деления пополам рассмотрим проблему нахождения приближенного значения квадратного корня из двух (приближенное решение уравнения х2-2 = 0). Мы знаем, что единица чересчур мала, поскольку I2 < 2 (I2-2 = 1-2 = -1 < 0), а два - чересчур велико, так как 22 > 2 (22-2 = 2 > 0). Таким образом, наше искомое значение лежит между 1 и 2. Ясно, что на данном этапе значение 1,5 должно подвергнуться проверке, и мы нахо-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [ 124 ] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]