cov-

рл =согл =-=====. (7.79)

Таким образом, двухфакторная GARCH может применяться при нахождении изменяющихся во времени коинтеграции и ковариации с их непосредственным использованием при построении портфеля ценных бумаг и определении коэффициентов хеджирования с наименьшей дисперсией.

Можно также использовать и модель исправления ошибки, вытекающую из наличия коинтеграции. Например:

s, = о-о + ai(s, i - Xf, 1) + EJr;

/ = Ро + Р,(5, ! - Vi) + %• (7-80)

Остатки из этих уравнений могут войти в уравнения условной дисперсии, как это описано ранее.

Если двухфакторная GARCH используется для определения коэффициентов хеджирования, то они определяются следующим образом:

-» covrf

Ь, (7-81)

где cov - условная ковариация между s и / и - дисперсия

/ Это аналогично коэффициенту наклона В в уравнении регрессии, рассчитанной по методу наименьших квадратов. Преимущество двухфакторной модели GARCH коэффициента хеджирования в том, что он определяется на основе изменяющихся во времени дисперсий и ковариации, тогда как коэффициент наклона уравнения регрессии основывается на неизменности дисперсий и ковариации.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Назовите различия между:

а) случайным блужданием и мартингалом;

б) марковским свойством и мартингальным свойством;

в) стационарностью и белым шумом.

2. С точки зрения ARIMA объясните, что означают процессы AR, МА и степень инеграции.

3. Объясните, как используются коэффициент автокорреляции и частный коэффициент автокорреляции при анализе структуры временного ряда.

4. Объясните, как можно проверить степень инеграции данных.

5. Дайте интуитивное объяснение коинтеграции.

6. Объясните, почему в случае койнтегрированных переменных подразумевается включение модели исправления ошибки.

7. Как применяется двухстадийный процесс Ингла-Грейндже-ра для идентификации коинтеграции?

8. Как определить условную дисперсию при:

а) однофакторном GARCH-процессе;

б) многофакторном GARCH-процессе.

9. В чем отличие моделей E-GARCH и GARCH-M от обычной GARCH модели?

10. Как определить волатильность рассматриваемой переменной, используя модели GARCH?

11. Что такое двухфакторная GARCH и как она может применяться при определении коэффициентов хеджирования?

12. Что такое оценка максимального правдоподобия? Как она работает?

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Black, Г. (1976) Studies in stock price volatility changes. Proceedings of the 1976 Meetings of the American Statistical Association, August.

Bollerslev, T. (1986) Generalised autoregressive conditional heteroskedas-ticity. Journal of Econometrics, 31, 307-27.

Bollerslev, Т., Chou, R.V. and Kroner, K.F. (1992) ARCH modeling in finance: a review of the theory and empirical evidence. In Engle, R.F. and Rothchild, M. eds, ARCH Models in Finance. Supplement to the Journal of Econometrics, 52.

Clare, A.D., Maras, M. and Thomas S.H. (1995) The integration and efficiency of international bond markets. Journal of Business Finance and Accounting 22 (2), 313-22.

Cheeley-Steeley, P.L. and Pentacost, E.J. (1994) Stock market efficiency, the small firm effect and cointegration. Applied Financial Economics 4, 405-11.

Choudhry, T. (1994) Stochastic trends and stock prices: an international enquirY. Applied Financial Economics, 4, 383-90.

Dickey, D.A. and Fuller, W.A. (1979) Distribution of estimators for auto-correlated time series with a unit root. Journal of American Statistical Association, 74, 427-31/

Engle, R.F. (1982) Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of UK inflation. Econometrica, 50, 987-1008.

Engle, R.F. and Granger, C.W.J. (1987) Cointegration and error correction: representation, estimation and testing, Econometrica, 55, 251-76.

Engle, R.F., Lillian, D.M. and Robins, R.P. (1987) Estimating time varying risk premia in the term structure: the ARCH-M model. Econometrica, 55, 391-408.

Engle, R.F. and Rothchild, M. (1992) ARCH models in finance. Supplement to the Journal of Econometrics, 52.

French, K.R., Swert, G.W. and Stambaugh, R.F. (1989) Expected stock returns and volatility. Journal of Financial Economics, 19, 3-29.

Granger, C. (1986) Developments in the study of cointegrated variables. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 43, 213-28.

Johansen, S. (1988) Statistical analysis of cointegrating vectors. Journal of Economic Dynamics and Control, 12, 231-54.

Johansen, S. (1991) Estimation and hypothesis testing of cointegrating vectors in Gaussian vector autoregressive models. Econometrica, 59, 1551-81.

Johansen, S. and Jesulius, K. (1990) Maximum likelihood estimation and inference on coinegration - with applications to the demand for money. Oxford Bulletin of Economics and Statistics, 52, 169-210.

Mackinnon J.J. (1990) Critical Values for Cointegration Tests.

Mandelbrot B.B. (1963) New methods in statistical economics. Journal of Political Economy, 71, 421-40.

Nelson, D.B. (1991) Conditional heteroskedasticity in asset returns: a new approach. Econometrica, 2, 347-70.

Phillips, P.C. (1987) Time series regressions with a unit root. Econometrica, 55, 277-301.

Phillips, P.C. and Perron P.(1988) Testing for a unit root in time series regression. Biometrica, 75.

ПРИЛОЖЕНИЕ 7.1.

Оиенка максимального правдоподобия

Существуют две формы оценки максимального правдоподобия - максимальное правдоподобие полной информации и максимальное правдоподобие ограниченной информации. Последнее является методом одиночного уравнения, а первый метод - многофакторный и его мы опишем в этом разделе.

В гл. 6, при изучении регрессионного анализа, мы использовали обычный метод наименьших квадратов для оценки неизвестных пара-