назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [ 119 ] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]


119

казначейских векселей по отношению к предположительно безрисковым трехмесячным векселям, и к 20-летним корпоративным облигациям против трехмесячных казначейских векселей. В последнем случае в уравнение регрессии математического ожидания включают третью переменную, чтобы отразить спред доходностей трехмесячных и 20-летних облигаций.

Эта же модель была применена Френчем и др. (French et al, 1987) к премии за риск американских акций за период 1928-1984 гг. Они использовали модель условной дисперсии GARCH (1,2).

Проверка моаелп GARCH

Для проверки адекватности модели GARCH необходимо проверить стандартизованные остатки е/а, где о - условное среднее квадратическое отклонение, рассчитываемое по модели GARCH и е - остатки в уравнении условного математического ожидания. Если модель GARCH достаточно хорошо определена, то стандартизованные остатки будут независимы и идентично распределены. Этот критерий проводится в два этапа.

Первый этап - расчет критерия Люнга-Бокса (LB) для квадратов значений первичных данных. Это влечет за собой расчет к коэффициентов автокорреляции на основе Т наблюдений. Затем коэффициенты автокорреляции у возводим в квадрат, получая у2. Критерий LB рассчитывается следующим-образом :

где m - максимальный временной лаг коэффициентов автокорреляции.

Второй этап - расчет критерия LB по стандартизованным остаткам. Таким образом, каждый остаток делится на соответствующее значение условного среднего квадратического отклонения. Рассчитываются коэффициенты автокорреляции и возводятся в квадрат. Критерий LB рассчитывается следующим образом:

(7.73)

(7.74)



где т - максимальный временной лаг автокорреляции, как и до этого, р - число лагов квадратов остатков из уравнения условной средней и q - число лагов значений условной дисперсии.

Если модель GARCH достаточно хорошо определена, то критерий LB стандартизованных остатков будет меньше критического значения j}m.p.q.

Возникает вопрос о наиболее уместной модели GARCH и наиболее подходящих параметрах GARCH. Ответ на этот вопрос находят методом проб и ошибок, т.е. сравнивая значения критерия LB по моделям альтернативных типов или структур параметров.

Волатильность GARCH

Как мы уже отметили, волатильность не является постоянной, а изменяется во времени. Следовательно, волатильность GARCH, которая по определению изменяется во времени, это подходящий измеритель. Конечно, это верно, только если применяется точная модель GARCH. Теория финансов мало говорит о точном определении модели, поэтому это предмет дальнейших эмпирических исследований.

Однако предполагая, что применяется точная модель, для нахождения годовой волатильности нужно определить квадратный корень из условной дисперсии и умножить на квадратный корень из числа наблюдений в год. Эта мера волатильности будет изменяться во времени, т.е. текущая волатильность является функцией от прошлой волатильности.

Для предсказания волатильности при помощи GARCH можно использовать рекурсивную модель следующего вида:

Л2г + у = Во + (Pl +Yi)A2( + j 1. (7.75)

Во втором уравнении б2, величина которого неизвестна, когда выполняется прогноз, заменяется на условную оценку Л2. Таким образом, второе уравнение позволяет предсказывать Л2 в момент времени t + 1 (j = 1), затем h2 в момент времени t + 2(J - 2) и т.д. Результат каждого расчета является предсказанием условной дисперсии на отдельный период, на j периодов вперед.



Кроме того, можно получить значения стандартных ошибок коэффициентов и рассчитать изменяющиеся во времени доверительные интервалы для наших прогнозов.

ПвухФакторная GARCH.

Двухфакторная модель GARCH может применяться для определения условной дисперсии и условной ковариации и коинтеграции двух переменных. Кроме того, можно включить параметр коинтеграции в уравнение условного математического ожидания, который затем делает параметры GARCH пригодными для создания более эффективных коэффициентов хеджирования, поскольку процесс хеджирования эффективен, когда переменные коинтегрированы.

Сначала мы рассмотрим двухфакторную GARCH на примере доходности акции s, и фьючерса fh после чего введем параметр коинтеграции и рассчитаем коэффициент хеджирования.

Для иллюстрации применения этой модели допустим, что в нашем примере модели условных средних имеют следующий вид:

Условная дисперсия в данном случае будет симметричной матрицей 2x2

hfi, hff,

.0 я.

.0 я.

(7.78)

где диагонали - условные дисперсии, а числа вне диагоналей - условные ковариации.

Когда мы получаем значение волатильности GARCH вышеописанным способом, то GARCH корреляция выглядят следующим образом:

/,= Р0 + р/г , + 8Л

(7.76)

(7.77)

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [ 119 ] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]