чтобы условная дисперсия всегда была положительной. Однако при включении большого числа лагов, что требуется для моделирования некоторых процессов, ограничение неотрицательности может быть нарушено. Раньше обычно старались убедиться в том, что число лагов было произвольно ограничено применением ad hoc (специальной) линейно убывающей структурой коэффициентов.

Боллерслев (1986) обобщил модель ARCH путем включения предыдущих значений условной дисперсии, чтобы избежать длиннолаговой структуры ARCH(), разработанной Инглом (1982). Таким образом, обобщенная ARCH, или GARCH(/>, q), определяет условную дисперсию как линейную комбинацию р предыдущих квадратов остатков из уравнения условной средней и q лагов предыдущих значений условной дисперсии:

где а, В и у не меньше нуля во избежание вероятности появления отрицательных значений условных дисперсий.

Это и является уравнением GARCH. Оно показывает, что текущее значение условной дисперсии является функцией от константы - некоторого значения квадратов остатков из уравнения условной средней плюс некоторое значение предыдущей условной дисперсии. Например, если условная дисперсия наилучшим образом описывается уравнением GARCH (1, 1), то объясняется это тем, что ряд является AR(1), т.е. значения е рассчитаны с лагом в один период и условная дисперсия тоже рассчитана с таким же лагом.

Рассмотрим применение GARCH на примере предсказания изменчивости доходности стерлинговых активов в долларах США.

Модель условного математического ожидания здесь будет моделью AR(2) и параметры регрессии следующие:

(7.70)

rus$ = °0 + а1Г-1 + a2rt-2 + Е,

rAis$ = 0,00005 + 0,01927 г, - 0,0571г, 2, (0,285) (0,502) (-1,526)

В скобках показаны значения /-критерия.

Уравнение условной дисперсии и значения /-критерия выглядят следующим образом:

А,2 = 0,0 + 0,04643e2, i + 0,9429A2, i-(2,062) (3,572) (57,178)

Этот результат показывает, ч%о условная дисперсия в момент времени / значимо определяется при помощи одного временного лага квадратов остатков уравнения условной средней и величиной самой условной дисперсии с лагом, равным 1.

Экспоненциальная модель GARCH: E-GARCI1

В модели GARCH (р, q) условная дисперсия зависит от размера остатков, а не от их знака. Хотя существует свидетельство, например у Блэка (1976), что волатильность и доходность активов обладают отрицательной корреляцией. Таким образом при росте цен на ценные бумаги при положительной доходности волатильность падает, и наоборот, когда цена активов падает, приводя к снижению доходности, то волатильность растет. В самом деле, периоды высокой волатильности связаны со спадами на фондовых рынках, а периоды низкой волатильности ассоциируются с подъемом на рынках.

Нельсон (1991) разработал Е-GARCH для следующей ситуации:

log(A2) = «о + + У,~ + £р/ log(A2.,.) . (7.71)

/=1 "-i i=\ "t-i , = 1

Заметьте, что e включаются в уравнение как в виде фактических необработанных данных, так и по модулю, т.е. в форме I е . Таким образом, E-GARCH моделирует условную дисперсию как асимметричную функцию значений е. Это позволяет положительным и отрицательным предыдущим значениям иметь различное влияние на волатильность. Представление в логарифмическом виде позволяет включать отрицательные значения остатков, не получая при этом отрицательную условную дисперсию.

Заметьте, что условные средние квадратические отклонения (A, i) включаются в качестве деноминаторов в правой части уравнения.

Мы использовали модель E-GARCH применительно к той же информации, что и в случае с GARCH. Параметры регрессии и соответствующие значения /-критерия оказались следующисми:

log(A2) = -0,01097 + 0,118+ 0,2496+ 0,9885 log(A2 ;) .

"t-i

(-1,807) (5,306) (2,070) (164,077)

Результаты показывают значимость асимметричной трактовки остатков из уравнения условной средней. Это также подчеркивает значимость GARCH переменной.

Модель GARCI1-M

Если рискованность финансовых активов изменяется во времени, то было бы логичным предположить, что требуемая инвесторами доходность будет также изменяться во времени. Поскольку все активы, включая безрисковые, обладают доходностью не ниже безрисковой (обычно за безрисковую доходность принимается доходность краткосрочных государственных облигаций с нулевым купоном, таким, как казначейские векселя), то уместно будет смоделировать премию за риск. Премией за риск считается разность между доходностью рискового актива и актива, не несущего риск.

Модель GARCH-M, разработанная Инглом и др. (1987), выражает условную среднюю как функцию oi условной дисперсии, так же как и авторегрессионную функцию прошлых значений рассматриваемой переменной. Общая разновидность GARCH первоначальной модели ARCH выглядит следующим образом:

у, = р + 5А, +е,;

tf-T+«£"?-i+i/£i. (7 72)

;=i /=1

Заметьте, что в уравнении условной средней дисперсия преобразована в условное среднее квадратическое так, что она выражается в тех же самых единицах измерения, что и премия за риск.

Ингл и др. (1987) применили формулировку ARCH приведенной выше модели к премиям за риск одно- и шестимесячных