Для определения векторов коинтеграции в случае многих переменных и для построения модели исправления ошибок воспользуемся методом наибольшего правдоподобия Йохансена. Модель исправления ошибок для многих переменных - это всего лишь общий вид модели для двух переменных. Опять мы начнем с построения модели VAR и приведем ее к разностям. Однако на этот раз векторы будут n х 1, а не 2 х 1, и матрицы будут л х л, а не 2 х 2.

Можно записать это в матричной форме:

ДЛ;= А\ АЛГ, , + А\ &Х, 2 + ШГ, з, (7.57)

здесь подчеркнутые переменные - это векторы.

В нашем случае мы допускаем три элемента AR, так что конечное уравнение включает лишь два временных лага, точно так же, как и в упомянутом выше примере. Однако матрица П - это матрица n х л.

Число отдельных векторов коинтеграции переменных определяется рангом матрицы П. Если ранг равен т (0 < т <п), то существует т векторов коинтеграции.

В случае существования векторов коинтеграции П может быть разложена на две матрицы - п * т н т * п. Назовем эти матрицы а и у, и П будет произведением а и у, т.е. П = осу. Ряды у таковы, что для каждого ряда у, у х Х, будет ДО). Ряды матрицы у и формируют векторы коинтеграции. Таким образом, получаем:

уХ.3 = Z, 3.

Z, 3 будет /(О)-вектором порядка т, если существует т векторов коинтеграции. Опять-таки матрица а представляет скорость приведения к равновесию.

Проверка коинтеграиии нескольких переменных

МНК не подходит для определения векторов коинтеграции в условиях многих переменных. Более подходящий тест составляющих вектора коинтеграции - это вероятностное отношение Йохансена, или тест "следа" - ("trace" test) (Йохансен, 1988; Йохансен и Йезулиус, 1990), который привлекает модель ис-

правления ошибок для определения независимых векторов коинтеграции и для проверки их стационарности в пределах матрицы П.

Процедура Йохансена имеет две функции. Первая - определение числа векторов коинтеграции в группе временных рядов, вторая - обеспечение оценок максимального правдоподобия векторов коинтеграции и векторов скорости приведения. Обе модели кратко описаны в приложениях 7.1 и 7.2 соответственно. Однако, помимо этого, многие пакеты прикладных экономических программ содержат процедуры коинтеграции. Мы использовали Microsoft 3.0 для получения результатов в приведенном ниже примере.

Для иллюстрации использования теста коинтеграции в рядах многих переменных и оценки модели исправления ошибок мы выбрали ежедневные курсы фунта стерлингов и гонконгского доллара (НК$), малайского доллара (MD), тайского бхата (ТВ) и филиппинского песо (FP) за 1991-1995 годы включительно.

Первая стадия - это проверка интегрирования рядов обменных курсов, являются ли они рядами 7(1). Здесь мы применим расширенный критерий Дики-Фуллера, где допускается тренд, как в уравнении (7.28).

Мы должны отбросить нулевую гипотезу о нестационарности, если статистический критерий будет иметь большее отрицательное значение, чем критическое. Поскольку критическое значение равно -3,4168, то мы можем заключить, что данные ряды 7(1).

Вторая стадия - это проверка ранга матрицы П. Так как у нас четыре валюты, то может быть не более трех векторов коинтеграции. Процедура тестирования заключается в следующем. Сначала проверяется нулевая гипотеза о том, что существует один вектор, затем гипотеза о двух векторах и т.д. Мы отвергаем нулевую гипотезу, что т - число векторов коинтеграции - меньше чем п, если значение статистического критерия больше указанного критического значения. Детали по использованию критерия "следа" по данным четырем валютам приведены в табл. 7.2.

XI -1,7976

XI -1,7447

A3 -1,8849

-1,9562

Таблица 7.2

Для определения количества векторов коинтеграции в рядах динамики мы сначала проверяем нулевую гипотезу, что не существует векторов коинтеграции, т.е. т = 0, против альтернативной гипотезы, что существует один такой вектор. Мы должны отвергнуть нулевую гипотезу, так как рассчитанное значение критерия равно 62,1827 против критического значения 47,2100, откуда делаем выводы о том, что существует один вектор коинтеграции. Затем проверяем гипотезу, что существует один вектор против альтернативной гипотезы о том, что существуют два вектора коинтеграции. Здесь рассчитанный критерий меньше критического значения, и мы принимаем нулевую гипотезу. То же самое и в случае с альтернативно! гипотезой о трех и четырех векторах. Таким образом, мы заключаем, что существует один вектор коинтеграции.

Затем приводим матрицу П в табл. 7.3.

Таблица 7 Я

Эта матрица П может быть разложена на матрицу оценок векторов коинтеграции, заданную вектором 1 х 4 в табл. 7.4 и на вектор параметров приведения, заданных вектором 4 х 1 в табл. 7.4.

Произведение стандартизованных переменных в векторе 4 х 1 и стандартизованных переменных в векторе 1x4 дает матрицу П 4 х 4 как показано в табл. 7.3.