Далее мы должны преобразовать модель через разности. Это можно сделать следующим образом. Во-первых, мы вычитаем

из обеих частей уравнения, преобразуя левую сторону уравнения в разности, учитывая, что

(7.43)

Yt-\

При этом мы получаем: АХ, AY,

= [A,-I}

+ А-

Х,-2 Yf-2

Xt-\

Л-!.

+ A:

Х,-з

Xt-3

(7.44)

(7.45)

Учитывая, что А, - это матрицы 2 • 2, мы можем преобразовать это выражение следующим образом:

АХ, AY,

+ А:

Х,-з у,-з

. (7.46)

Открывая скобки, получаем: АХ,~

Х,-з

Гг-з.

и группируем члены с общими множителями, например

В результате получим выражение \X,-i1 \~Х, 2

у,-1

(7.47)

(7.48)

(7.49)

Схожая процедура применяется по отношению к матрицам A3. В результате получаем

АХ, AY,

(7:50)

Как мы уже говорили выше, полученная матрица Л + А2 + + A3 - /] - это матрица 2 • 2, обозначим ее П. Матрицу \А\ - /]

обозначим А\ и матрицу [А; + А2 - /J - /42. В результате имеем

А, Д

+ /41.Д

*,-2 П-2

*,-3 7,-3.

(7.51)

(7.52)

Мы видим, что VAR - процесс уровней рядов - может быть записан как VAR - процесс разностей за исключением одного члена

Л-з.

Ранг матрицы П дает число векторов коинтеграции в рядах динамики (ранг матрицы - это число линейно независимых рядов). Таким образом, ранг матрицы говорит о том, что следует делать. Если П имеет нулевой ранг, то матрица П - нулевая, и мы по сути имеем VAR-процесс в ряде разностей. Это показывает, что коинтеграции в рядах данных нет, и для достижения стационарности требуется нахождение разностей.

Если матрица П - полная, то ряды уже стационарны (матрица П имеет обратную, и, таким образом, выражение может быть решено для уровней, выраженных в разностях. Это будет верным только, если ряды уровней /(0)).

Если ранг П лежит между 0ия(0</я<я, в нашем случае п = 2, т = 1), то существует т векторов коинтеграции. Эти векторы описывают долгосрочные равновесные соотношения переменных. Модель исправления ошибки включает в себя краткосрочные изменения, которые поддерживают долгосрочное равновесие.

Чтобы лучше понять это, разложим матрицу П на матрицу а и у.

Так что

Если

А, 3"

[У\ Уг]-

m 7 21

lYl У2

(7.53)

(7.54)

(7.55)

стационарно, то существует коинтеграция. СЦ и а2 интерпретируются как скорость приведения процесса к равновесию. Таким образом, модель исправления ошибки будет

(7.56)

где Z является 7(0).

Наиболее точное образование матрицы П получается при методе наибольшего правдоподобия Йохансена (1988) и Йохансена и Йезулеуса (1990), который применяется к коинтеграции нескольких временных рядов.

Коинтеграция нескольких переменных

Теперь мы можем применить анализ коинтеграции к нескольким переменным, например X, Ум W. Существуют четыре возможные линейные комбинации этих переменных, например Xи У, Хм W, Y и W, X, К и W. Однако мы заинтересованы только в независимых комбинациях, так как только они могут быть коинтегрированы. Любая комбинация векторов коинтеграции сама по себе будет вектором коинтеграции. Таким образом, мы можем иметь не более л-1 векторов коинтеграции. Поскольку у нас три переменные, то мы имеем две независимые комбинации.

Теперь рассмотрим упомянутые выше четыре комбинации.

Мы можем доказать, что если X + К коинтегрированы и. К и W коинтегрированы, то должна существовать коинтеграция в рядах X, Ум Wm в рядах Хм W.

Так как X w У коинтегрированы, то существуют такие a, b и с, что аХ+ ЬУ+ с является 7(0).

Поскольку коинтегрированы К и W, то существуют такие р, q и г, что рУ+ qW+ /-является 7(0).

Сложение дает аХ + (р + b)Y + qW + (с + г), что является 7(0), отсюда существует коинтеграция X, Ум W.

Умножение на р и b соответственно и вычитание дают ряд арХ - bqW+ (cp-br), который также является 7(0), а значит между А" и W существует коинтеграция.

Таким образом, существует не больше двух независимых векторов коинтеграции.