Теперь посмотрим на доходность:

Критерий

(средняя)

-20,2910

-16,5143

-13,8929

Критическое Критерий

значение (средняя v

-2,86 -20,3090

-2,86 А -16,5463

-2,86 -13,9255

-20,3090 -3,41

-16,5463 -3,41

-13,9255 -3,41

Критерий Критическое

(средняя и тренд) значение

Здесь мы ясно видим, что в отношении доходности обменного курса нулевая гипотеза о том, что ряд является рядом /(1), отвергается в пользу альтернативной гипотезы, т.е. в пользу ряда ДО). Поэтому данные доходности относятся к стационарным рядам.

Выше, в гл. 2, мы обсуждали корреляцию как меру линейной зависимости между парами переменных. Теперь, когда мы уже ввели понятие стационарности, ясно, что для того, чтобы коэффициент корреляции являлся статистически значимым показателем связи между двумя временными рядами, необходимо выполнение условия их стационарности. Мы говорим, что два временных ряда должны быть совместно ковариационно стационарными. Отдельная переменная является ковариационно стационарными, если и E(Xt) и a2 (Xt) - конечные константы для всех значений /, коэффициент корреляции между Xt и Х,.„ является тем же самым для всех t, и, таким образом, ковариация двух наблюдений X зависит только от времени между наблюдениями. Чтобы две переменные были совместно ковариационно стационарными, индивидуальные ряды должны быть ковариационно устойчивыми, а ковариация Xt и Yt должна быть неизменной при всех значениях /, т.е. чтобы cov, Yt) не зависела от /.

Проблема использования коэффициента корреляции в финансах заключается в том, что нет особых причин считать финансовые временные ряды ковариационно стационарными. Например, валюты или фондовые биржевые индексы в странах со слабыми экономическими связями вряд ли будут иметь устойчивую взаимосвязь друг с другом. Хотя здесь может присутствовать долгосрочная взаимосвязь, которую требуется определить. Следовательно, нужна иная мера взаимосвязи между перемен-

КОПНТЕГРАиПЯ

Пнтуптпвное ввеаенпе

ными, которая может использоваться в свете практических реалий того, что ряды, не будучи совместно ковариационно стационарными на коротком промежутке времени, демонстрируют долгосрочное равновесие. Это понятие соответствует коинтеграции.

Коинтеграция описывает долгосрочную линейную связь между несколькими переменными, которые демонстрируют равновесное отношение друг с другом. Рассмотрим пример с двумя переменными, например, уровень индекса FTSE 100 и курс фьючерсов FTSE 100, которые обозначим соответственно как Хи. Y. Есть экономические причины полагать, что в долгосрочном плане они будут иметь равновесную связь друг с другом. Чтобы понять это, рассмотрим модель арбитража наличного и фондового рынков, введенную в гл. 1, для объяснения ценообразования финансовых фьючерсов. Что произойдет, если цена фьючерса будет намного выше или ниже теоретического уровня? Если цена фьючерса выше справедливой, то арбитражеры будут продавать фьючерсы и покупать индексы, тем самым опуская цену на фьючерсы до равновесного уровня. И наоборот, если цена фьючерса ниже справедливой, то арбитражеры будут продавать индексы и покупать фьючерсы.

Предположим, что равновесное отношение уровня цены на фьючерс к уровню индекса равно 1,1. Это можно выразить так:

Y=\,\X, (7.30)

но можно представить и так:

К- 1,1 ЛГ- 0. (7.31)

Это соотношение верно только для равновесия, на краткосрочных интервалах каждая из этих переменных будет изменяться по-своему и, возможно, будет являться рядом 7(1). Но даже если оба ряда относятся к 7(1), если существует долгосрочное равновесие между ними, то третья переменная z, заданная как

Y- 1,1*= г, (7.32)

будет стационарной и будет измерять, в какой степени переменные X и Y выведены из равновесия. Переменную z называют ошибкой равновесия, потому что под действием тех сил, что устанавливают равновесие, она устремится к своему среднему значению.

Таким образом, если существует равновесное отношение, то возможно найти такую комбинацию данных двух переменных,

т.е. aY + ЬХ = z, при которой z будет стационарной. Как выше уже говорили, если z в самом деле стационарна, то ее значение колеблется вокруг постоянной средней, и если z отклоняется от своего среднего значения, то имеет тенденцию возвращаться к нему. Однако на краткосрочных интервалах переменные могут и не изменяться вместе и, таким образом, может не быть краткосрочного равновесия, но-все краткосрочные отклонения будут сводиться рыночными силами в долгосрочном плане к нулю. Это показано на рис. 7.9.

Равновесное отношение

Время

Рис. 7.9

Если существуют такие а и Ь, что aY + ЬХ является 7(0), то у + + (Ь/а)Х будет стационарно. Если мы имеем функцию Y+ $Х= z, где z стационарна ии У являются 7(1), то имеется коинтеграция между X и Y. В часто называют коэффициентом коинтеграции.

Таким образом, коинтеграция описывает долгосрочное соотношение двух или более переменных и проистекает из того, что эти переменные демонстрируют общий стохастический тренд во времени.

Одна из задач анализа коинтеграции состоит в анализе преимуществ от диверсификации портфеля в дополнение к корреляционному анализу структуры портфеля с точки зрения его математического ожидания и дисперсии. В частности, анализ коинтеграции позволяет выявить существование долгосрочной зависимости между переменными и скорость, с которой краткосрочные отклонения от долгосрочного равновесия сводятся назад к равновесию (Clare и др., 1995).