Если г\ находится в следующем интервале:

-1,96 • 0,0333 < г, < 1,96 • 0,0333 = -0,065 < г, й 0,065,

то можно считать, что данные не показывают наличие автокорреляций первого порядка.

Все рассчитанные коэффициенты автокорреляции для временного ряда цен облигаций были значительно больше 0,065. Это неудивительно при том, что данный временной ряд - это ряд цен облигаций. Однако данные о доходности облигаций показали низкий уровень автокорреляции при том, что только коэффициенты первого, третьего, седьмого и восьмого порядков оказались статистически значимыми. Это показывают данные табл. 7.1.

Таблица 7.1

* Значимо при 5%-ном уровне.

Статистический критерий Q рассчитывается так:

где т - максимальный рассматриваемый лаг.

Например, с лагом, равным девяти, получим следующие значения Q-критерия:

Q = 900 • 0,027 = 24,5800, Х92(0,005) = 23,59.

Таким образом, как группа коэффициенты для лагов в девять периодов значимы.

Частный коэФФгшпент

п фуикипя автокорреляипп

Частный коэффициент автокорреляции (РАС), лежащий в основе частной функции автокорреляции (PAF), измеряет связь между текущим значением переменной X, и последующими значе-

Анализ временных рядов

ниями этой переменной Xt-\, Xj, •••> Xt-ь когда влияние всех промежуточных временных лагов устранено. Таким образом, частный коэффициент автокорреляции первого порядка будет равен коэффициенту автокорреляции первого порядка, так как нет промежуточных лагов. Но частные коэффициенты второго и следующих порядков будут уже отличаться друг от друга.

Частный коэффициент автокорреляции используется для определения степени автокорреляции внутри временного ряда. Например, ряд, обозначенный AR(m), показывает, что последний статистически значимый частный коэффициент автокорреляции рассчитан с лагом т. Таким образом, в ряде AR(2) текущее значение переменной обладает значимой корреляцией только со значениями, отстоящими на 1 и 2 временных лага назад. В ряде AR(4) значимыми будут частные коэффициенты автокорреляции с лагами от одного до четырех периодов, но коэффициенты с более высокими лагами не будут значимо отличаться от нуля.

В динамическом процессе АК(т) частные коэффициенты автокорреляции значимо отличаются от нуля для временных лагов от 1 до т и затем резко падают до нуля для интервалов т + 1 и больше.

Проверка процесса скользящей средней

Зная повеление коэффициента автокорреляции и частного коэффициента автокорреляции, можно попытаться определить, содержит ли ряд элемент скользящей средней. Если ряд скорее МА чем AR, то автокорреляция не будет показывать порядок МА-процесса. Хотя, если значение частных коэффициентов автокорреляции падает по экспоненте, а не опускается резко до нуля, то можно предположить, что ряд содержит процесс скользящей средней, а не AR.

Критерий для ARMA-проиессов

Для проверки автокорреляции в рядах, где присутствуют элементы и авторегрессии и скользящей средней, используется критерий Люнга-Бокса (LB) (Ljung-Box, 1978). Критерий LB рассчи-

к га "X-m-p-q >

(7.22)

где т - максимальное число временных лагов, рассматриваемых в модели; р - порядок авторегрессий*; q - порядок процесса скользящей средней.

Проверка степени интеграции и стационарности

Как выше уже говорили, интеграция означает, в какой степени ряд должен быть преобразован с помощью разностей разного порядка, чтобы стать стационарным, что очень важно, так как многие методы анализа временных рядов подразумевают, что анализируемый ряд в действительности является стационарным. Проверка стационарности производится при помощи теста единичного корня (unit root)1. Если данные показывают единичный корень, то ряд является 7(1).

Ранее подход к проверке стационарности и степени интеграции был назван критерием Дики-Фуллера. С помощью этого критерия проверяется, имеет ли коэффициент а в уравнении (7.23) значение, равное единице или меньше единицы

Если а равно единице, то данные имеют единичный корень и степень интегрирования равна 1, т.е. ряд является 7(1). Если же а меньше единицы и больше нуля, то ряд стационарен, т.е. 7(0). В финансах а обычно бывает не больше 1, поскольку это подразумевает взрывные ряды. Такие ряды маловероятны, поскольку давление экономической среды не позволяет переменной принимать бесконечно большие значения.

Существуют некоторые теоретические проблемы с уравнением (7.23), поскольку возможность нестационарности нарушает допущения регрессии МНК, которая подразумевает постоянную дисперсию остатков. Например, рассмотрим уравнение Yt = Yt \ +

1 Проверка стационарности производится на основе анализа корней характеристического уравнения (единичный корень соответствует границе области стационарности) - Прим. научн. ред.

Y, - а, У, ! + е,-

(7.23)