Этот процесс может также быть изображен в матричном виде:

"ел-

Р Ч г s

(7.17)

Очевидно, что векторные процессы могут включать как элементы автокорреляции, так и элементы скользящей средней. Примером векторного ARMA, включающего предыдущие значения с лагом в один период и предыдущие значения ошибки с таким же лагом, VARMA (1,1) будет

В матричном виде это будет

(7.18)

(7.19)

Мы знаем, что информация во временных рядах может получаться в результате нескольких процессов. Некоторые типы процессов часто встречаются при анализе финансовых временных рядов под общим названием авторегрессионные интегрированные процессы скользящей средней (ARIMA). Они состоят из трех подпроцессов : авторегрессионных процессов (AR), интегрирования (/) и процессов скользящей средней (МА). Таким образом, анализ таких динамических процессов может производиться путем разбиения процесса на три упомянутых выше подпроцесса. Очень важно также помнить, что ARMA-npouecc предполагает, что временные ряды стационарны с постоянной средней и дисперсией. Таким образом, анализируя ряды, соответствующие ARIMA-процессу, первым делом следует определить степень интегрированности и, если необходимо, рассчитать разностный ряд так, чтобы его среднее значение стало неизменным.

В экономике и финансах многие ряды не обладают устойчивыми средним значением и дисперсией. Поэтому далее в этой главе мы изучим коинтеграцию в рядах динамики и ARCH-и GARCH-методы, разработанные для работы с такими временными рядами.

Коинтеграция была разработана в ответ на растущую потребность в анализе соотношений между группами экономических

показателей-переменных, чтобы получать концептуально и эмпирически более значимое измерение этих взаимосвязей в свете нестационарности отдельных временных рядов. Коинтеграция, в частности, адресуется к данным с нестационарными средними значениями.

ARCH и GARCH учитывают неустойчивость дисперсии и были разработаны в связи с потребностью прогнозирования волатильности финансовых временных рядов в преддверии распространения финансовых опционов и вообще растущей неустойчивости финансовых рынков в течение последних двух десятков лет.

ИНСТРУМЕНТЫ АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Очевидно, что процесс построения временных рядов может принимать различные формы. В нашем обсуждении мы уже ограничили себя тремя элементами и показали, что при анализе временных рядов необходимо обратить внимание на уровень автокорреляции, интегрированное™ и на компонент скользящей средней. Далее мы рассмотрим использование коэффициента автокорреляции (Auto-correlation coefficient - АСС) и частного коэффициента автокорреляции (Partial auto-correlation coefficient - РАСС) для идентификации элементов AR и МА в процессе построения временных рядов. Затем мы воспользуемся расширенным тестом Дики-Фуллера (angmented Dickey-Fuller) для определения степени интегрирования.

Проверка автокорреляипп: коэФФпипента автокорреляипп п Функции

Для определения степени автокорреляции временных рядов мы должны определить силу связи между текущими и прошлыми значениями рассматриваемой переменной. Одним из способов измерения этой связи являются коэффициенты автокорреляции (АСС), совокупность которых образует функции автокорреляции (ACF). Коэффициент автокорреляции измеряет связь между те-

кушими и прошлыми наблюдениями временного ряда и рассчитывается следующим образом:

zfr - vKx -¥)

Рк = --„-, (7-20)

где к - количество лагов. Таким образом, коэффициент автокорреляции первого порядка будет рассчитан с лагом в один период, коэффициент автокорреляции второго порядка будет учитывать степень связи между значениями, отстоящими на два временных периода, и т.д. Рассчитываются коэффициенты автокорреляции всех порядков и затем проводится статистическая проверка для определения, при каких лагах коэффициенты статистически значимы. Только лаги, являющиеся статистически значимыми, оставляются в модели.

Проверка значимости коэффициентов автокорреляции проводится при помощи критерия стандартной ошибки и Q-критерия Бокса-Пирса. Два критерия предлагаются потому, что существуют два подхода к проверке наличия автокорреляции. При первом подходе подразумевается использование критерия стандартной ошибки, проверяются коэффициенты автокорреляции каждого порядка отдельно, чтобы выявить, какие из них значимы. Второй подход использует Q-критерий Бокса-Пирса для того, чтобы проверить на значимость все множество коэф-фициенюв как группу.

Стандартная ошибка коэффициента корреляции рассчитывается следующим образом:

SE,. = 4= • (7.21)

Коэффициенты автокорреляции случайных данных обладают выборочным распределением, приближающимся к нормальному с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равным .

Для иллюстрации этого подхода воспользуемся данными об уровнях цен и доходности британских государственных долгосрочных облигаций. Коэффициенты автокорреляции первого порядка рассчитываются на основе выборки из 900 наблюдений. Стандартная ошибка равна 1/-/900 = 1/30 = 0,0333.