Авторегресспонмые процессы

Начнем анализ ARIMA с рассмотрения авторегрессионного процесса. Авторегрессионным называется процесс, при котором значение ряда находится в линейной зависимости от предыдущих значений. Например, если текущее наблюдаемое значение является функцией всего лишь одного значения, непосредственно предшествующего наблюдению, т.е. процесс зависит всего лишь от одного значения рассматриваемой переменной, то процесс называется авторегрессионным процессом первого порядка и обозначается AR(1). Это можно обобщить следующим образом: если анализируемый динамический процесс зависит от значений, отстоящих от 1 до п временных лагов назад, то это авторегрессионный процесс порядка п, т.е. AR(w). Например, процесс AR(3) можно отобразить следующим образом:

Здесь текущее значение Y - функция от трех наиболее недавних предыдущих значений. Отсюда авторегрессионная модель - это модель, в которой моделируемые значения задаются линейной функцией от предыдущих наблюдений. Читатели здесь увидят сходство с автокорреляцией или внутрирядовой корреляцией, где существовала корреляция между остатками в уравнении регрессии. В действительности, если мы посмотрим на уравнение (7.7), то узнаем многофакторное уравнение регрессии, где прошлые значения У являются независимыми переменными

где е, - остаток или ошибка (погрешность).

Далее в этой главе мы объясним, как определять степень автокорреляции временных рядов, используя коэффициент автокорреляции и частный коэффициент автокорреляции.

Интеграция

Авторегрессионный процесс и процесс скользящей средней, который мы проанализируем в следующем параграфе, предполагают, что анализируемые данные являются стационарными. Интегрирование означает, какого порядка разности должны быть рассчитаны для того, чтобы получить стационарный временной

Y, = оо + а, + а2К, 2 + а3У 3.

(7.4)

Y, = а0 + а, + а2 У, 2 + а3 У, 3 + е„

(7-5)

ряд. Здесь нахождение разностей - это всего лишь нахождение изменений значения переменной в последующие периоды, т.е. величины AY, = Y, - Ряд значений ЛУ- это ряд разностей.

Если во временном ряду должны быть рассчитаны разности первые, чтобы получить стационарный ряд, то первоначальный ряд называется интегрированным рядом первого порядка, или /(1). Если же требуется рассчитать вторые разности для получения стационарного ряда, то это интегрированный ряд второго порядка, или 1(2). Если же в ряду вообще не требуется вычислять разности, то он называется интегрированным рядом нулевого порядка, или /(0).

Вспомним приведенное выше обсуждение стационарности. Мы предположили, что уровни значений индексов FTSE 100 вряд ли являются стационарными, в то время как ряд показателей доходности вполне может быть таким.

Если ряд /(0), т.е. стационарен, то его дисперсия будет конечна. Изменения рассматриваемой переменной будут иметь только промежуточное влияние на временной ряд. Коэффициенты автокорреляции будут постепенно убывать таким образом, что их сумма станет конечной. И наоборот, если ряд /(1), то изменения будут иметь постоянный эффект, дисперсия с течением времени будет возрастать до бесконечности .

Вернемся к примеру с индексом FTSE 100. Исходя из наших заключений, можно сказать, что показатели доходности являются первыми разностями ряда значений индекса. Если ряд значений доходности устойчив, то ряд значений индекса будет рядом /(1).

Моделирование при помощи нестационарных рядов может оказаться проблематичным, например, это может привести к ложной корреляции. Чтобы понять, что это такое, взгляните на рис. 7.7, на котором изображены значения индексов FTSE 100 и S&P 500. Коэффициент корреляции этих двух рядов равен 0,81. Однако было бы неуместным предполагать причинную связь между значениями индексов. Конечно, оба индекса вместе возрастают и падают на протяжении длительных периодов времени, но является ли рост одного индекса причиной роста другого? В действительности же, в соответствии с экономической теорией, причиной одновременного роста индексов служит долгосрочный экономический рост в обеих странах при условии высокого уровня интегрированное™ национальных экономик и положительного уровня инфляции. Таким образом, причиной долго-

срочного роста индексов является третий фактор - экономическая деятельность.

600т

-.- S4P500 .....FTSE 100

3600 3400 3200 3000 2800 2600 2400 2200 2000

Рис. 7.7. Месячные уровни индексов S&P 500 и FTSE 100

Рис. 7.8. Месячная доходность по S&P 500 и FTSE 100 : с 1.01.92 по 1.09.95