-0.5

Ряс. 7.4. Белый шум

Стационарность

Временные ряды называются стационарными, если они обладают постоянной средней и дисперсией, а ковариация зависит только от временного интервала между двумя отдельными наблюдениями.

Возьмем, например, индекс FTSE 100. Этот индекс возрос с уровня 1000 на момент открытия до 3600 на момент написания этой книги, спустя 12 лет. Представьте, что вы анализируете среднюю и среднее квадратическое отклонение дневного уровня за каждый календарный год. Поскольку индекс возрастает год за годом, то средняя величина и среднее квадратическое отклонение в течение первого года будут ниже, чем в течение второго года и т.д., и очевидно, что в тот год, когда индекс возрос до 3500, затем упал до 3100, средний уровень будет выше, чем в первый год начала исчисления индекса.

В гл. 2 мы отметили, что величина дисперсии и среднего квадратического отклонения может быть функцией от значения индекса. Таким образом, дисперсия индекса, колеблющаяся вокруг 1000, вполне может быть ниже дисперсии индекса, колеблющегося вокруг отметки 3000.

Пример белого шума изображен на рис. 7.4.

Анализ временных рядов

Ковариация также может зависеть от уровня значений анализируемых данных. В этом случае мы имеем ковариацию между последовательными наблюдениями.

По интуиции мы ожидаем, что немногие (если вообще какие-то) временные ряды курсов валют или уровней индексов будут стационарными, поскольку возрастающие и падающие значения являются основной чертой финансовых переменных. Хотя норма прибыли, требуемая инвесторами, обычно зависит от неопределенности, связанной с инвестициями, и не зависит от уровня индекса. Таким образом, норма прибыли может обладать постоянными средней и средним квадратическим отклонением и ковариацией наблюдений, зависящей только от промежутков между наблюдениями.

На рис. 7.5 изображен временной ряд значений FTSE 100 с 1984 по 1992 гг., а на рис. 7.6 показан временной ряд непрерывно наращенной нормы доходности. Очевидно, что ряд значений индекса FTSE 100 не является стационарным, в то время как ряд значений норм доходности вполне может быть. Далее в этой главе мы увидим, как проверять, являются ли временные ряды доходности стационарными в действительности.

3000.0

2500.0

2000.0

1000.0

1500.0

500.0

г j п s s п п й ё is п s s s s s 8 s g s » s а

Рыг* 7 < RnAijpuunu nan lunuAUuii uunpirnn FT£F. 100 С. 1 084 nn 1007 TT

Время

Рис. 7.6. Временной ряд непрерывно наращенной нормы доходности: 1984-1992

Рассматривая приведенное выше определение белого шума, мы видим, что он является стационарным рядом. Хотя стационарный ряд необязательно будет белым шумом, поскольку может иметь среднюю, отличную от нуля, или ковариацию.

ОДНОФАКТОРНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

В рамках однофакторных стохастических моделей процесс построения временных рядов рассматривается как состоящий из компонентов анализируемых временных рядов. Другими словами, если будущие значения рассматриваемой переменной сколько-нибудь предсказуемы, то они являются функцией от прошлых значений этой переменной. В этой ситуации ограничимся анализом составляющих однофакторного стохастического процесса в контексте авторегрессионных процессов, процессов со скользящей средней и степени интегрирования. Эти три подпроцесса удобно объединить под названием авторегрессионные интегрированные модели со скользящей средней (autoregressive integrated moving average processes - ARIMA).