назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [ 33 ]


33

ЗАДАЧИ

К разделу 1 (здесь и далее переменная z - комплексная, х и у - вещественные)

1. Найдите критические точки и критические значения отображений z »-+ z2, z н- гг + ez.

2. Найдите критические точки и критические значения отображений (х, у) (хг + ayt у2 + Ъх),

3. Исследуйте бифуркации особых точек дифференциального уравнения х - -з? + х -f- а при изменении параметра а.

4. Исследуйте бифуркации особых точек в системе дифференциальных уравнений z = ez - z2z + ЛР, где А - фиксированное комплексное число, а комплексное число е обходит вокруг нуля.

5. Сколько имеется топологически различных вещественных многочленов пятой степени х5 + • * • с четырьмя различными вещественными критическими значениями? Два многочлена топологически одинаковы, если один можно превратить в другой непрерывными и сохраняющими ориентации заменами зависимой и независимой вещественных переменных.

6. Обозначим через ап число типов многочленов xn+i -- . . , с п различными критическими значениями (так что ответ в предыдущей задаче будет обозначаться а4) и составим функцию р (t) = "Lantnln\t Докажите, что р (t) = sec t + tg t (так что an выражаются через числа Бернулли при нечетных п и через числа Эйлера - при четных).

7. Рассмотрим в пространстве многочленов хь + » . » область, образованную многочленами с четырьмя различными вещественными критическими значениями. Сколько компонент связности имеет эта область?

8. Предположим, что второй дифференциал гладкой функции двух переменных в критической точке положительно определен. Докажите, что после надлежащей гладкой замены зависимой переменной и и независимых

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [ 33 ]