назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [ 3 ] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33]


3

что скачки из состояния «гений» в состояние «маньяк» и обратно происходят на разных линиях, так что при достаточно большой увлеченности гений и маньяк могут иметь равные увлеченности и техники, различаясь лишь достижениями (и предысторией).

Недостатки описанной модели и множества аналогичных ей спекуляций в теории катастроф слитком очевидны, чтобы о них говорить подробно. Отмечу только, что работы по теории катастроф обличает резкое, катастрофическое снижение уровня требований к строгости, а также к новизне публикуемых результатов. Если первое можно понять как реакцию на традиционный в математике поток строгих, но малоинтересных, эпигонских работ, то небрежное отношение катастрофистов к своим предшественникам (которым и принадлежит большинство конкретных результатов) вряд ли можно оправдать. Причина в обоих случаях скорее социальная, чем научная *).

4. МАШИНА КАТАСТРОФ

В отличие от описанного выше примера, применения теории особенностей к исследованию бифуркаций положений равновесия в теории упругости безупречно обоснованы.

Во многих упругих конструкциях при одинаковых внешних нагрузках возможно, несколько положений равновесия. Рассмотрим, например, горизонтальную линейку, концы которой шарнирно закреплены, нагруженную весом стоящего на середине линейки груза.

Наряду с положением равновесия, при котором линейка прогнута грузом, возможно также положение, при котором линейка выгнута дугой вверх, наподобие моста»

При увеличении груза в некоторый момент происходит «катастрофа» или «хлопок»: линейка скачком переходит из одного состояния в другое. Теория особенностей применима к изучению таких хлопков, и ее предсказания прекрасно оправдываются в экспериментах.

Для наглядной иллюстрации применений этого рода изобретен ряд приспособлений: одно из простейших, называемое машиной катастроф Зимана, изображено на рис. 7.

*) «Я так думаю, голубушка, что декадептстпо это самое не что иное, как просто к купечеству подход».- В. М. Дорошевич. Рассказы и очерки (М., 1066. С. 295).



Машину катастроф каждый может легко изготовить сам. Для этого нужно взять доску (А) (см. рис. 7) и, вырезав из картона диск (В), прикрепить его иглой в центре (С) к доске так, чтобы он мог свободно вращаться. Другая игла (D) втыкается только в диск на его краю, а третья (Е) - только в доску. Чтобы закончить сборку машины,

А И $\ (о

<>

Рис. 7. Машина катастроф Зимана

иужно еще две ленты из легко растяжимой резины (F, G), карандаш (Я) и лист бумаги (/).

Подле того как игла на краю диска соединена с неподвижной иглой и с карандашом резинками, мы ставим острие карандаша в некоторой точке на листе бумаги и тем натягиваем резинки. Диск устанавливается в некотором положении. Теперь при движении острия карандаша диск будет поворачиваться. Оказывается, при некоторых положениях острия карандаша малое изменение его положения способно вызвать «катастрофу», т. е. скачок диска в новое положение. Если отметить на листе бумаги места всех таких «катастроф», то получается «кривая катастроф» (К).

Оказывается, что полученная кривая катастроф сама имеет четыре точки возврата. При пересечении кривой катастроф скачок может происходить, а может и не происходить, в зависимости от того, по какому пути острие карандаша обходило точки возврата кривой катастроф.

Экспериментируя с этой машиной и пытаясь найти правило, определяющее, будет ли скачок, читатель легко убедится в необходимости математической теории явления и сможет лучше оценить вклад теории особенностей в его объяснение.

Состояние машины катастроф описывается тремя числами. Действительно, положение острия карандаша задается двумя координатами (они называются управляющими параметрами). Положение диска определяется еще одним числом (углом поворота)3 называемым также внут-



ренним параметром системы. Если все гря числа заданы, то определены степени растяжения резинок и, следовательно, определена потенциальная энергия всей системы. Диск поворачивается так, чтобы эту энергию минимизировать (по меньшей мере локально). При фиксированном положении карандаша потенциальная энергия - функция

Рис. 8. Потенциальная энер- Рис.9. Поверхность равно-гия машины катастроф весий машины катастроф

от положения диска, т. е. функция, заданная на окружности. Эта функция может иметь в зависимости от значений управляющих параметров один или несколько минимумов (рис. 8, а). Если при изменении управляющих параметров положение минимума меняется плавно, то скачка не происходит. Скачок происходит при тех значениях управляющих параметров, для которых локальный минимум исчезает, слившись с локальным максимумом (рис. 8, б); после скачка диск оказывается в положении, отвечающем другому локальному минимуму (рис. 8, в).

Рассмотрим трехмерное пространство состояний машины. Состояния, при которых диск находится в равновесии, образуют в этом пространстве гладкую поверхность. Будем проектировать эту поверхность на плоскость управляющих параметров вдоль оси внутреннего параметра (рис. 9). Это проектирование имеет складки и сборки. Проекция точек складок и есть кривая катастроф. На ,рис. 9 ясно видно, почему переход управляющих параметров через линию катастроф иногда вызывает, а иногда не вызывает скачок (это зависит от того, какой части нашей поверхности отвечает положение диска).

[Старт] [1] [2] [ 3 ] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33]