По словам поэта:
Мир создан купно. Целостность его Не устает показывать планета - И вот в глаза бросается родство То тут, то там сияющего света. Наверно, есть какое-то ядро, Откуда свет расходится повсюду: И в зрелый свет сентябрьских щедрот, И в нашей жизни трепетное чудо.
Описание в терминах теории особенностей было найдено в 1983 г. для всех групп Кокстера, порожденных отражениями в евклидовых пространствах, включая некристаллографические, вроде Hs и #4.
Группы Въ, С * и F4 связаны с краевыми особенностями функций (1978). Катастрофисты, кажется, все еще не заметили связей теории краевых особенностей с простейшими (и важнейшими) случаями так называемой теории несовершенных бифуркаций. Более сложные случаи последней связаны с теорией Горюнова проектирований полных пересечений, которая является далеким обобщением теории краевых особенностей. В теории Горюнова, в частности, исключительная группа F4 оказывается родоначальником целого семейства особенностей FH, к > 4.
Геометрическая интерпретация каустики F4 найдена И. Г. Щербак. Рассмотрим поверхность с краем в обычном трехмерном евклидовом пространстве. Каустика поверхности с краем состоит из трех поверхностей: фокального множества исходной поверхности (образованного ее центрами кривизны), фокального множества граничной кривой (являющегося огибающей семейства нормальных плоскостей) и поверхности, составленной из нормалей к исходной поверхности в граничных точках. Для поверхностей с краем общего положения в отдельных точках край касается направления главной кривизны. В окрестности фокальной точки на нормали к поверхности, проведенной в такой точке края, каустика поверхности локально диффеоморфна каустике группы F4 (рис. 84).
#3, группа симметрии икосаэдра, связана с перестройками эвольвент плоской кривой вблизи ее точки перегиба. В соответствующей плоской задаче об обходе препятствий график многозначной функции времени диффеоморфен многообразию нерегулярных орбит группы Я3; он диффеоморфен также объединению касательных к кривой х = t, у = t\ z = t5 (О. В. Ляшко, О. П. Щербак). В задаче об обходе препятствия в трехмерном пространстве
то же многообразие описывает особенность фронта в некоторых точках на поверхности препятствия.
7/4 - это группа симметрии правильного 600-гранника в четырехмерном евклидовом пространстве. Чтобы описать этот многогранник, начнем с группы вращений икосаэдра. При двулистном накрытии SU(2) ->- SO(3) эта группа из 60 вращений накрывается «бинарной группой икосаэдра» из 120 элементов. Группа SU(2) естественно изометрична трехмерной сфере, и 120 элементов бинарной группы образуют набор вершин искомого правильного многогранника в четырехмерном пространстве.
Рассмотрим теперь задачу об обходе препятствия в трехмерном пространстве. График (многозначной) функции времени является гиперповерхностью в четырехмерном пространстве-времени. Для задачи об обходе препятствия общего положения эта гиперповерхность локально
множества поверхности с краем
диффеоморфна многообразию нерегулярных орбит группы Н4 в некоторой точке. А именно, нужная точка лежит на касательной к геодезической на поверхности препятствия, имеющей в параболической точке касания асимптотическое для поверхности направление (О. П. Щербак, 1984).
Добавление ПРЕДШЕСТВЕННИКИ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ
Сначала мысль, воплощена
В поэму сжатую поэта,
Как дева юная, темна
Для невнимательного света;
Потом, осмелившись, она
Уже увертлива, речиста,
Со всех сторон своих видна,
Как искушенная жена
В свободной прозе романиста;
Болтунья старая, затем
Она, подъемля крик нахальный,
Плодит в полемике журнальной
Давно уж ведомое всем.
Е. Баратынский
Не претендуя на полноту, я приведу здесь несколько ярких работ, авторы которых рассматривали особенности, бифуркации и катастрофы в системах общего положения, возникающих в различных областях знания.
Каустики встречаются уже у Леонардо да Винчи, название им дал Чирнгаузен.
В 1654 г. Гюйгенс построил теорию эволют и эвольвент плоских кривых, обнаружив одновременно устойчивость точек возврата на каустиках и волновых фронтах (т. е. сборок соответствующих отображений). Перестройки фронтов на плоскости исследовались Лопиталем (около 1700 г.) и Кэли в 1868 г.
Гамильтон в 1837-1838 г. применил исследование критических точек семейств функций к изучению особенностей систем лучей в геометрической оптике, вроде конической рефракции и двойного лучепреломления.
Якоби в лекциях по динамике (1866) исследовал каустики системы геодезических эллипсоида, выходящих из одной точки, и обнаружил устойчивость точек возврата на каустиках.