назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [ 27 ] [28] [29] [30] [31] [32] [33]


27

лый оборот. Исчезающий цикл при таком перекручивании переходит в себя (повернувшись на п). Другие же циклы на линии уровня преобразуются в, вообще говоря, новые циклы. А именно, всякий раз, когда какой-либо цикл проходил вдоль образующей нашего цилиндра (т. е. пересекал исчезающий цикл), перекручивание изменяет проходящий цикл на исчезающий, так что (с точностью до

Рис. 79. Построение монодромии последовательным отождествлением близких рпмановых поверхностей

непрерывных деформаций) образ проходящего цикла при монодромии получается из проходящего цикла добавлением столько раз взятого исчезающего цикла, сколько раз проходящий цикл (с учетом знаков) пересекал исчезающий. Если это число равно нулю, то проходящий цикл называется ортогональным исчезающему. Такой цикл при монодромии не меняется.

Мы вывели, таким образом (для функций двух переменных), «формулу Пикара - Лефшепа», основную в комплексной теории критических точек функций. При переходе к функциям любого числа п переменных исчезающий цикл становится сферой размерности п - 1, а цилиндр - множеством всех его касательных векторов. Если число переменных п нечетно, то монодромия действует на классы циклов как отражение в зеркале, ортогональном исчезающему циклу (сам он при монодромии меняет знак).

Сложные критические точки функций при общих малых шевелениях распадаются на простейшие. В результата общего малого шевеления возникает несколько крити-



ческих значений и около каждого из них - по исчезающему циклу. Обход каждого из критических значений определяет преобразование монодромии. Подход от некритического исходного значения к каждому критическому значению по некритическому пути переносит исчезающий цикл в многообразие исходного неособого уровня пошевеленной функции. В результате там возникает целый набор исчезающих циклов.

Например, неособая комплексная линия уровня функции х3 + у2 - это тор без одной точки. Малое шевеление Xs - ех + у2 имеет два критических значения (рис. 80),

Рис. 80. Исчезающие циклы функции х3 + У2

Подход к ним от некритической комплексной линии уровня определяет на этом торе два исчезающих цикла: параллель и меридиан тора. Точно так же на поверхности уровня функции х3 + у2 + 2а лежат две исчезающих сферы, пересекающиеся в одной точке. Соответствующие им преобразования монодромии - отражения пространства классов циклов в ортогональных исчезающим циклам зеркалах.

Таким образом, в теории критических точек функций появляются группы отражений: они составляются преобразованиями монодромии при обходе вокруг критических значений.

Теория групп отражений представляет собой хорошо разработанный отдел математики. Рассмотрим, например! на плоскости два зеркала. Если угол между ними несоизмерим с 2зт, то число разных преобразований, полученных комбинированием отражений в этих зеркалах, бесконечно, а если соизмерим - то конечно. Точно так же



в трехмерном пространстве найдены все расположения проходящих через 0 зеркал, порождающие конечное число преобразований; классификация таких расположений известна и при любой размерности пространства.

Вычисление групп монодромии простейших вырожденных критических точек функций вскрыло глубокие связи между теориями критических точек функций, каустик и волновых фронтов, с одной стороны, и теорией групп, порожденных отражениями - с другой.

Проявления этой связи иногда выглядят довольно неожиданно. Рассмотрим, например, задачу об обходе препятствия, ограниченного кривой общего положения с обычной точкой перегиба па плоскости. Линии уровня времени в этой задаче - эвольвенты кривой. Эти эвольвенты имеют особенности на кривой (порядка 3/2) и на касательной перегиба (порядка 5/2). Оказывается, перестройкой особенностей эвольвент при прохождении точки перегиба управляет группа симметрии икосаэдра. Отсюда выводится, например, что график функции времени в окрестности точки перегиба гладкой заменой координат приводится к нормальной форме вроде ласточкиного хвоста. А именно, нормальной формой является поверхность многочленов х& + ах* + Ъх2 + с с кратными корнями (или поверхность касательных к кривой (t, t3, t5)x рис. 81, 0. В. Ляшко, О. П. Щербак).

Рис. 81. Дискриминант группы симметрии икосаэдра - типичная особенность графика многозначной функции времени на поверхности с краем

16. МИСТИКА ТЕОРИИ КАТАСТРОФ

Естественнонаучные приложения теории особенностей не исчерпывают всех направлений теории катастроф: наряду с конкретными исследованиями типа работ Зимана имеются скорее философские труды математика Р. Тома, который первым осознал всеобъемлющий характер работ Унтни по теории особенностей (и предшествовавших им работ Пуанкаре и Андронова по теории бифуркаций), ввел термин «теория катастроф» и занялся широкой пропагандой этой теории.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [ 27 ] [28] [29] [30] [31] [32] [33]