назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [ 26 ] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33]


26

превращается в спираль, делающую на пути от одного основания к другому полный оборот вокруг цилиндра (рис.76).

Чтобы понять, почему это так, исследуем подробнее «комплексную окружность». Уравнение ее можно записать в виде у = Yc - я2. Из этой формулы видно, что каждому (комплексному) значению х соответствует пара значений у, за исключением х = + Ус,- каждому из этих двух особенных значений х соответствует единственное (нулевое) значение у.

Следовательно, график комплексной «двузначной функции» у = Yc - х2 распростерт над плоскостью комплексной переменной х двулистно, причем оба листа соединены только в двух точках. Однако разделить оба листа, удалив лишь эти две точки, не удастся. В самом деле, заставим х обойти одну из этих точек по малому контуру, охватывающему ее один раз. Соответствующее значение у, непрерывно меняясь, вернется не к прежнему значению, а к другому. Действительно, из формулы

с -- х2 = (Yc - х) {\fc + х)

видно, что при обходе х вокруг одной из точек + YCf аргумент одного из сомножителей меняется на 2зт, а другого не меняется. Значит, аргумент у меняется при указанном обходе на я, т. е. у меняет знак и переходит с одного листа на другой.

При двукратном обходе х вокруг точки ]/ с величина у возвращается к исходному значению. Точки х = + Yс называются точками ветвления функции у = У с - х2-

Чтобы лучше представить себе поверхность, заданную этой функцией, соединим обе точки ветвления отрезком. Если точка х гуляет по плоскости, не пересекая этого а резка, то у возвращается к первоначальному значс игл всякий раз, когда х описывает замкнутый путь. Действительно, однократный обход любой из точек ветвления меняет лишь знак у, поэтому обход всего отрезка из меняет знака у.

Ясно, что наша поверхность х2 + у2 - с топологически устроена как объединение двух экземпляров плоскости комплексного переменного х, разрезанной влегь отрезка между точками ветвления, при склеивании верхнего берега разреза на каждом экземпляре с нижним берегом на другом. Топологически эта поверхность есть



цилиндр. Разрез изображается на этом цилиндре экваториальной окружностью (рис. 77).

При приближении с к критическому значению 0 обе точки ветвления сближаются. Соединяющий их отрезок и обходящий его путь на римановой поверхности в пределе при с -> О исчезают в критической точке. Поэтому ,

Рис. 77. Риманова поверхность кривой х2 + у2 = с

экваториальный цикл на цилиндре х2 + у2 = с называют исчезающим циклом.

Для с > 0 этот исчезающий цикл - обычная вещественная окружность. Итак, мы разобрались в строении множества неособого уровня вблизи критической точки при фиксированном значении функции, близком к критическому. Вид функции при этом не важен, лишь бы критическая точка была невырожденной. Ибо все невырожденные критические точки комплексных функций топологически локально одинаковы в соответствии с объясненным выше общим принципом (комплексное вырождение накладывает два вещественных условия). В частности, топология исчезающего цикла для гиперболического случая (х2 - уг = с) такая же, как для эллиптического, х2 -j- у2 = с, только в гиперболическом случае исчезающий цикл весь лежит в комплексной области.

Пусть теперь значение с обходит по малому контуру вокруг критического значения. Применим наш анализ комплексной линии уровня функции к исследованию мо-нодромии. Если выкинуть малую окрестность особой точки, то все линии уровня (вещественные или комплексные), достаточно близкого к критическому, можно взаимно-непрерывно и взаимно-однозначно спроектировать на линию критического уровня (вне указанной окрестности особой точки, рис. 78).



Отсюда следует, что монодромня, т. е. отождествление линий уровня с, непрерывно зависящее от пути, пробегаемого значением с при обходе критического значения, может быть выбрана так, что вне указанной окрестности все точки линии уровня вернутся на место, когда с совершит полный оборот.

Остается разобраться, что произойдет внутри окрестности. При этом достаточно рассмотреть стандартною

Рнс. 78. Отождествление соседних множеств уровня функции вдали от критических точек

функцию / = х2 + у2. Часть комплексной линии уровня, попавшая внутрь окрестности, топологически представляет собой цилиндр, оба края которого выходят на границу окрестности. В то же время эта часть двулистно накрывает область на плоскости комплексного переменного х с ветвлением в точках + Ус, как это объяснено выше (рис. 77).

Когда с совершает полный оборот вокруг нуля, отрезок между точками ветвления совершает пол-оборота,; в результате чего мы возвращаемся к прежним (хотя и переставившимся) точкам ветвления. Непрерывно отождествляя между собой возникающие по дороге поверхности (так, чтобы точки краев оставались все время близкими к своему исходному положению), мы получим в конце концов отображение цилиндра на себя (монодромию) устроенное следующим образом.

Отрезок образующей цилиндра, обозначенный на рисунке 79, 1 буквой у, в процессе отождествления переходит в кривые, обозначенные этой же буквой на промежуточных поверхностях (2, 3, 4). В конце концов мы возвращаемся к исходному цилиндру (5), но кривая у переходит в новую кривую с теми же концами. Легко сообразить,; что на поверхности цилиндра эта новая кривая делает; один полный оборот вдоль направляющей окружности как и изображено на рис. 76.

Таким образом, монодромия перекручивает цилиндри ческую часть комплексной линии уровня функции, расположенную вблизи критической точки, ровно на один це-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [ 26 ] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33]