назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [ 23 ] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33]


23

При п = 2 лагранжевы особенности общего положения исчерпываются складками и сборками, как и общие особенности (впрочем, лагранжева сборка имеет два лаг-ранжево неэквивалентных *) варианта).

Особенности лагранжевых отображений трехмерных лагранжевых многообразий общего положения уже не все встречаются среди обычных особенностей общего положения.

Теперь мы покажем, что градиентные нормальные и гауссовы особенности лагранжевы.

1. Пусть F- гладкая функция от р. Тогда многообразие q = dFldp лагранжево. Поэтому особенности градиентного отображения лагранжевы.

2. Рассмотрим гладкое подмногообразие в евклидовом пространстве. Рассмотрим множество всех перпендикулярных ему векторов (во всех его точках q). Многообразие, образованное векторами р, приложенными в точках р q, лагранжево. Нормальное отображение можно рассматривать как лагранжево отображение этого многообразия на базу, (р, р + q) (р + q).

3. Рассмотрим многообразие всех ориентированных прямых в евклидовом пространстве. Это мпогсоб} азие снмплектическое, так как его можно рассматривать как фазовое пространство движения точки по сфере (направление прямой определяет точку на сфере, а точка пересечения прямой с перпендикулярной ей касательной плоскостью сферы - величину импульса).

Рассмотрим многообразие ориентированных нормалей к поверхности в нашем пространстве. Это подмногообразие в симплектическом многообразии прямых лагранжево. Гауссово отображение можно рассматривать как лагранжево отображение (отображение проектирования построенного подмногообразия на сферу, являющуюся базой лагранжева расслоения фазового пространства).

Таким образом, теории градиентных, нормальных и гауссовых особенностей сводятся к теории лагранжевых особенностей.

Встретившаяся нам в конце симплектическая структура многообразия ориентированных прямых - не столь искусственное образование, как это кажется на первый

*) Лагранжева эквивалентность двух лагранжевых особенностей - это отображение первого лагранжева расслоения на второе, переводящее первую симплектическую структуру во вторую и первое лагранжево нодмногообразие во второе.



взгляд. Дело в том, что множество решений любой вариационной задачи (или вообще множество решений уравнений Гамильтона с фиксированным значением функции Гамильтона) образует симплектическое многообразие, очень полезное для исследования свойств решений.

Рассмотрим, например, двухпараметрическое семейство лучей, срывающихся с геодезических на поверхности препятствия в трехмерном пространстве, как это указано на рис. 72, Это семейство оказывается двухмерным лагранжевым подмногообразием четырехмерного пространства всех лучей. Но в отличив от ранее встречавшихся нам лагранжевых подмногообразий это лагранжево многообразие само имеет особенности. Особенности эти проявляются там, где срывающийся луч - асимптотический для поверхности препятствия. Такие лучи образуют ребро возврата (типа хг = у3) лагранжева многообразия срывающихся лучей.

На этом ребре возврата есть еще особые точки, в окрестности которых многообразие срывающихся лучей устроено как раскрытый ласточкин хвост (поверхность в четырехмерном пространстве многочленов хъ + ахъ + Ьх2 -f-+ сх + d, образованная многочленами с трехкратными корнями).

Эта поверхность встречается также в других задачах теории особенностей (например, при исследовании заметания каустики ребрами возврата движущихся волновых фронтов) и является, видимо, одним из основных примеров будущей теории лагранжевых многообразий с особенностями.

В евклидовой и в римановой геометрии имеется обширная теория внешней кривизны: кроме внутренних свойств подмногообразия, определяемых его метрикой, имеются еще различия в расположении подмногообразий с одинаковыми внутренними геометриями в объемлющем пространстве.

В симплектической геометрии, как недавно доказал А. Б, Гивенталь, дело обстоит проще: внутренняя геометрия (сужение симплектической структуры на множество касательных векторов к подмногообразию) определяет внешнюю. Иными словами, подмногообразия с одинаковой внутренней геометрией локально переводятся друг в друга сохраняющим симплектическую структуру диффеоморфизмом объемлющего пространства.

Здесь открывается новая глава теории особенностей - исследование особенностей расположения подмногообра-



зий в симплектическом пространстве, на важность которого обратил внимание Р. Мельроз в недавних работах по дифракции. Начало классификации таких особенностей получается, по теореме Гивенталя, из результатов Ж, Мартине и его последователей о вырождениях симп-лектической структуры. Например, двухмерное подмногообразие общего положения в четырехмерном симплек-тическом пространстве локально приводится сохраняющим симплектическую структуру преобразованием к одной из двух нормальных форм:

Рз = Чг = 0 или Чг = 0, р2 = р\.

На нечетномерных многообразиях не бывает симплек-тических структур, но зато бывают контактные. Контактная геометрия играет для оптики и теории распространения волн такую же роль, как симплектическая для механики.

Контактная структура на нечетномерном многообразии определяется выбором в касательном пространстве в каждой точке гиперплоскости (подпространства коразмерности один). Два поля гиперплоскостей на многообразии фиксированной размерности локально эквивалентны (переводятся друг в друга диффеоморфизмом), если только оба они общего положения вблизи изучаемых точек.

Контактной структурой называется поле гиперплоскостей, являющееся полем общего положения вблизи каждой точки нечетномерного многообразия.

Контактным является многообразие всех линейных элементов на плоскости. Оно трехмерно. Контактная структура задается так: скорость движения элемента принадлежит (гипер)плоскости поля, если скорость движения точки приложения принадлежит элементу. Точно так же определяется контактная структура в 2п - 1-мерном многообразии элементов гиперплоскостей на любом га-мерном многообразии.

Роль лагранжевых многообразий в контактном случае переходит к лежандровым (интегральным подмногообразиям поля гиперплоскостей наибольшей возможной размерности, т. е. размерности т в контактном многообразии размерности 2т + 1).

Особенности волновых фронтов преобразований Ле-жандра, а также гиперповерхностей, двойственных к гладким,- это лежандровы особенности. Вся симплектическая теория (включая, например, теорему Гивенталя) имеет контактные аналоги1 чрезвычайно по-

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [ 23 ] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33]