иорхности и пучка общего положения это условие выполняется на некоторой кривой на поверхности (зависящей от пучка). На рис. 71 асимптотические направления изображены горизонтальными отрезками, а кривая касания обозначена буквой К; геодезические - жирные линии.

В отдельных точках (0 на рис. 71) эта кривая К сама будет иметь асимптотическое направление - это точки пересечения К с кривой 4 перегиба асимптотических (см. п. 12).

Таким образом возникает двупараметрическое семейство путей: один параметр нумерует геодезические линии пучка, другой - точку срыва касательной, уходящей с поверхности препятствия. Вдоль каждого пути определена функция времени (отсчитываемая от начальной точки х). Время достижения конечной точки у по такому пути определено не однозначпо (в одну конечную точку может вести несколько таких путей), и вдобавок не все ваши пути обходят препятствие.

Тем не менее ясно, что исследова- Рис 71 • ™Т<Г™ .. „Y ские направления и ти-

ипе полученной многозначной фун- пичныи ПуЧОк геоде-

кцпи времени составляет необхо- зических на поверхности димый этап изучения особенностей системы кратчайших путей.

Расположим за препятствием еще одну поверхность (стенку) общего положения и рассмотрим отображение срыва поверхности препятствия на стенку, сопоставляющее каждой точке препятствия точку пересечения срывающейся в ней касательной к геодезической пучка со стенкой.

Когда стенка удаляется на бесконечность, отображение срыва переходит в гауссово отображение пучка: каждой точке поверхности препятствия сопоставляется точка единичной сферы, а именно конец вектора длины 1, параллельного касательной к геодезической.

Отображение срыва и гауссово отображение пучка имеют особенности в точности на той линии, где направление геодезической пучка асимптотическое. Эти особенности оказываются складками в общих точках и сборками в особых точках, где направление кривой асимптотическое (О. А. Платонова).

Многозначная функция времени также имеет особенность в T04KaXj соответствующих асимптотическому срыву.

3* 67

При подходящем выборе системы гладких координат функция времени приводится к виду Т = х - в окрестности общей точки особой поверхности у = 0. Иными словами если отметить на каждом срывающемся луче точку, отвечающую пути длины Т, то эти точки образуют поверхность

Рис. 72. Типичная особенность Рис. 73. Типичная особен-фронта в вадаче об обходе ность эвольвенты плоской кри-ирепятствия: ребро возврата вой - клюв степени 5/2 на

фронта с ребром возврата, локально задающуюся уравнением хг = у& (рис. 72).

Аналогичный результат получается в плоской задаче (в этом случае фронты называются эвольвентами и имеют особенность типа х2 = уь в точках касательной перегиба

Фронт пространственной задачи в особой точке (точке сборки гауссова отображения пучка) локально задается уравнениями

1 = в, y = v* + uv, 2= {i35vi + Шии2 + 70u2)v3,

где (и, v) - параметры, (х, у, z) - криволинейные координаты в пространстве с началом в не лежащей на поверхности препятствия точке особого асимптотического луча.

14. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ И КОНТАКТНАЯ ГЕОМЕТРИИ

Многие вопросы теории особенностей (например, классификация особенностей каустик и волновых фронтов а также исследование всевозможных особенностей в задачах оптимизации и вариационного исчисления) становятся понятными только в рамках геометрии симплекти-ческих и контактных многообразий, освежающе непохожей на обычные геометрии Евклида, Лобачевского и Ри-мана,

степени 5/2

касательной перегиба кривой

(рис. 73)).

Начнем с трех примеров особенностей специального гида.

1. Градиептное отображение. Рассмотрим в евклидовом пространстве гладкую функцию. Градиентным отображением называется отображение, сопоставляющее точке значение градиента функции в пей. Градиентные отображения - весьма специальный класс отображений пространств одинаковой размерности.

Особенности градиентных отображений общего положения отличны от общих особенностей отображений пространств одинаковых размерностей: их «меньше» потому, что не всякое отображение можно реализовать как градиентное, но «больше» потому, что явление, не типичное дли общих отображений, может быть типичным для градиентных.

2. Нормальное отображение. Рассмотрим множество всех векторов нормалей к поверхности в трехмерном евклидовом пространстве. Сопоставим каждому вектору его конец (вектору р, приложенному в точке 7, сопоставляем точку р + q). Мы получаем отображение трехмерного многообразия векторов нормалей в трехмерное пространство (и-мерного в /г-мерное, если начать с подмногообразия любой размерности в и-мерном евклидовом пространстве).

Это отображение называется нормальным отображением исходного многообразия. Особенности нормальных отображений подмногообразий общего положения составляют специальный класс особенностей отображений пространств одинаковой размерности. Критические значения нормального отображения образуют каустику (геометрическое место центров кривизны) исходного подмногообразия: см. рис. 33j где исходное многообразие - эллипс.

3. Гауссово отображение. Рассмотрим двустороннюю поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. Перенесем единичные векторы положительных нормалей из каждой точки поверхности в начало координат. Концы этих векторов лежат на единичной сфере. Полученное отображение поверхности на сферу называется гауссовым отображением.

Гауссовы отображения составляют еще один специальный класс отображений многообразий одинаковой размерности (п - 1, если начинать с гиперповерхности в n-мерном пространстве).