назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [ 19 ] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33]


19

фронты общего положения на плоскости, и так же перестраиваются при общей гладкой деформации неходкой кривой, как перестраивается распространяющийся общим образом по плоскости общий фронт.

Точно так же плоскости в трехмерном пространстве образуют двойственное трехмерное пространство, и ьсе касательные плоскости к гладкой поверхности образуют

Рис. 65. Двойственность точек перегиба и возврата

двойственную поверхность. Особенности поверхности, двойственной к поверхности общего положения, такие же, как у волнового фронта, т. е. ребра возврата с ласточкиными хвостами.

Линии параболических точек исходной поверхности соответствует на двойственной поверхности ребро возврата. Особые точки на этой линии (где она касается линии перегиба асимптотических) соответствуют ласточкиным хвостам. Линия самопересечения ласточкиного хвоста состоит из двойных касательных плоскостей исходной поверхности. Следовательно, в точке 7) сливаются две точки касания плоскости с исходной поверхностью, чем и заканчивается однопараметрическое семейство двойных касательных плоскостей.

Классы точек на поверхности общего положения проявляются также в виде различных особенностей видимого контура. Если направление проектирования - общего положения, то особенности - лишь складки и сборки, по теореме Уитни. Однако, выбрав направление проектирования специальным образом, можно получить и некоторые не общие проекции поверхности общего положения Оказывается, все такие проектирования локально приводятся к проектированиям перечисленных ниже 9 поверхностей z = / ( у) вдоль оси х:



3 + ху

хя±ху2

ж3 -{- гу8

х* -\- ху

ж* + х2у + ху*

ж5 + х3у±ху

(поверхности проектируются на плоскость, (у, z), приведение осуществляется заменой X (х, у, z), Y (у, z), Z (у, z)).

Видимые контуры, соответствующие этим проекциям, изображены на рис. 66.

Соответствие между классификацией проектирований и точек на поверхности состоит в следующем. 1 - это проектирование по неасимптотическому направлению (складка Уитни).

Проектирование по. асимптотическому направлению в общей точке гиперболической области принадлежит типу 2. Это проектирование имеет особенностью сборку Уитни. При малом шевелении направления проектирования особая точка лишь немного перемещается по поверхности: новое направление оказывается асимптотическим в близкой точке. Таким образом, чтобы увидеть сборку, достаточно взглянуть на общую поверхность по асимптотическому направлению.

При движении поверхности или наблюдателя в отдельные моменты появятся особенности 3, 4 и 6.

Проектирования 6 (и 8 или 9) соответствуют гиперболической области (а именно асимптотическим касательным третьего и четвертого порядков соответственно).

По спине двугорбого верблюда (см. рис. 43) проходит линия перегиба асимптотических. Касательные третьего порядка, приложенные в ее точках, образуют поверхность. Проходя мимо верблюда, мы дважды пересекаем эту поверхность. В момент пересечения видимый контур спины имеет особенность типа у3 = xk, а проектирование - тип 6,

Остальные особенности возникают при проектировании по направлению, асимптотическому в параболической точке. Простейшие из них - особенности 3 и 4. Проектирование 3 реализуется в момент, когда мы, спускаясь с бугра» начинаем видеть его контур (см. рис. 41). Первая появляющаяся точка контура - параболическая.



асимптотических д~иперееисТц точек

. Видимые контуры и порядки их особенностей для типичных проектирований

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [ 19 ] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33]