назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [ 15 ] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33]


15

ляемого индикатрисой набора допустимых скоростей, достичь заданной цели (например, прийти за кратчайшее время на заданное подмножество фазового пространства).

Зависимость кратчайшего времени достижения цели от начальной точки может иметь особенности. Рассматривавшиеся в п. 10 особенности функции минимума расстояния до кривой - частный случай (индикатриса - окружность, а цель - кривая). В отличие от этого частного случая особенности кратчайшего времени в общей задаче управления изучены весьма слабо.

В общем случае достичь цели можно не при любом начальном условии. Точки фазового пространства, из которых можно достичь цели (за любое время), называются областью достижимости.

Граница области достижимости может иметь особенности даже в том случае, Рис 54. Поле индикатрис до-когда ни цель, ни поле ин- llJ дикатрис в различных точках фазового пространства особенностей не имеют. Мы приводим ниже классификацию особенностей границы достижимости в общей управляемой системе на фазовой плоскости в случае, когда индикатрисы и цель - гладкие кривые (по А. А. Давыдову).

Из четырех типов особенностей границы три записываются простыми формулами (при подходящем выборе локальных координат на плоскости):

1) у = х , 2) у = х х , 3) у = хг х .

Особенность четвертого типа связана с теорией дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной, называемых также неявными дифференциальными уравнениями.

Такое уравнение имеет вид F (х, у, р) = 0, где р == = dy/dx. Геометрически уравнение F = 0 задает поверхность в трехмерном пространстве с координатами (х, у, р). Она называется поверхностью уравнения.

Условие р = dy/dx выделяет плоскость в каждой точке нашего трехмерного пространства. Эта плоскость состоит из векторов, г/-компонента которых в р раз больше х-компонентыа где р - координата точки приложения. Та-



кая плоскость называется контактной. Контактная плоскость в каждой точке вертикальна (содержит направление оси р). Все вместе контактные плоскости задают поле контактных плоскостей, называемое также контактной структурой.

Контактная структура высекает на поверхности уравнения поле направлений (с особыми точками в тех местах, где контактная плоскость касается поверхности). Поверхность уравнения здесь предполагается гладкой. Это условие выполняется для уравнений общего положения.

Вопрос о строении типичных особых точек неявных дифференциальных уравнений рассматривался еще в прошлом веке, и король Швеции Оскар II включил его, наряду с проблемой трех тел, в список из четырех вопросов на премию 1885 г.

Решение этого вопроса было получено лишь в 1985 г. А. А. Давыдовым в виде побочного продукта исследования областей достижимости управляемых систем на плоскости.

Ответ доставляет следующий список нормальных форм (к которым уравнение приводится локальным диффеоморфизмом плоскостп):

у = (х + kpY.

В зависимости от значения параметра к здесь возможны три случая. Особая точка поля на поверхности уравнения может оказаться седлом, узлом или фокусом. Отображение проектирования поверхности уравнения на плоскость (х, у) вдоль оси р имеет особенностью складку. В окрестности типичной точки складки уравнение приводится к нормальной форме Чибрарио (1932), х = р2. Все особые точки автоматически попадают на складку. Результат складывания изображен на рис. 55: особые точки на плоскости (х, у) называются сложенным седлом (узлом, фокусом соответственно). Оказывается, несмотря на сложность узора, образованного интегральными кривыми на плоскости (х, у), он (даже не только топологически, но и с точностью до диффеоморфизма) однозначно определяется единственным «модулем» к (как и фазовый портрет соответствующего векторного поля на плоскости вблизи особой точки).

Сложенные особые точки - седла, узлы, фокусы - встречаются во многих приложениях. Рассмотрим, например, асимптотические линии на поверхности в трехмерном пространстве (поверхность имеет с касательными



прямыми касание выше первого порядка в каждой своей точке). Для поверхности общего положения сеть асимптотических линий заполняет область гиперболичности, где поверхность имеет отрицательную кривизну (как обыкновенное седло). Через каждую точку области гиперболичности проходят две асимптотические лини и

Рис. 55. Сложенные особенности

Область гиперболичности ограничена линией параболических точек, на которой оба асимптотических направления совпадают.

В окрестности типичной параболической точки асимптотические линии имеют полукубическую особенность и вся сеть их приводится к такой же нормальной форме у = с + хъ,г, как и семейство интегральных кривых уравнения Чибрарио.

Однако в окрестности отдельных точек на линии пара-боличности поведение асимптотических линий сложнее: они устроены как интегральные кривые неявных уравнений вблизи сложенных особых точек (рис. 55).

Сложенные особенности появляются также в теории релаксационных колебаний. Пусть система имеет одну быструю и две медленных неременных, так что полное фазовое пространство трехмерно. Точки, где скорость изменения быстрой переменной равна нулю, образуют (вообще говоря гладкую) поверхность - медленную поверхность системы. Движение фазовой точки состоит из нескольких процессов. Вначале быстрая переменная релаксирует, т. е. фазовая точка быстро движется по «вертикали» (по направлению оси быстрой переменной) к медленной по-верхности затем начинается медленное движение вдоль

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [ 15 ] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33]