назад Оглавление вперед


[Старт] [ 1 ] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33]


1

Памяти М. А. Леонтооича

1. ОСОБЕННОСТИ, БИФУРКАЦИИ И КАТАСТРОФЫ

Первые сведения о теории катастроф появились в западной печати около 1970 г. В журналах типа «Ньюс уик» сообщалось о перевороте в математике, сравнимом разве что с изобретением Ньютоном дифференциального и интегрального исчисления. Утверждалось, что новая наука-теория катастроф - для человечества гораздо ценнее, чем математический анализ: в то время как ньютоновская теория позволяет исследовать лишь плавные, непрерывные процессы, теория катастроф дает универсальный метод исследования всех скачкообразных переходов, разрывов, внезапных качественных изменений. Появились сотни научных и околонаучных публикаций, в которых теория катастроф применяется к столь разнообразным объектам, как, например, исследования биения сердца, геометрическая и физическая оптика, эмбриология, лингвистика, экспериментальная психология, экономика, гидродинамика, геология и теория элементарных частиц. Среди опубликованных работ по теории катастроф есть исследования устойчивости кораблей, моделирования деятельности мозга и психических расстройств, восстаний заключенных в тюрьмах, поведения биржевых игроков, влияния алкоголя на водителей транспортных средств, политики цензуры по отношению к эротической литературе.

В начале семидесятых годов теория катастроф быстро сделалась модной, широко рекламируемой теорией, напоминающей универсальностью своих претензий псевдонаучные теории прошлого века.

Математические статьи основоположника теории катастроф Р. Тома были переизданы массовым тиражом в карманной серии - событие, которого не было в математическом мире со времени возникновения киберне-



тики, у которой теория катастроф заимствовала многие приемы саморекламы.

Вслед за панегириками теории катастроф появились в более трезвые критические работы; некоторые из них также печатались в рассчитанных на широкого читателя изданиях под красноречивыми названиями вроде «А король-то-голый». Сейчас имеется уже много CTtiien, специально посвященных критике теории катастроф. (См., например, обзор Дж. Гуккенхеймера «Споры о катастрофах» и пародию на критику теории катастроф.)

Источниками теории катастроф являются теория особенностей гладких отображений Уитни и теория бифуркаций динамических систем Пуанкаре и Андронова.

Теория особенностей - это грандиозное обобщение исследования функций на максимум и минимум. В теории Уитни функции заменены отображениями, т. е. наборами нескольких функций нескольких переменных.

Слово «бифуркация» означает раздвоение и употребляется в широком смысле для обозначения всевозможных качественных перестроек или метаморфоз различных объектов при изменении параметров, от которых они зависят.

Катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий. Чтобы понять, что такое теория катастроф, нужно вначале познакомиться с элементами теории особенностей Уитни.

2. ТЕОРИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ УИТНИ

В 1955 г. американский математик Хасслер Уитни опубликовал работу «Об отображениях плоскости на плоскость», заложившую основу новой математической теории - теории особенностей гладких отображений.

Отображение поверхности на плоскость - это сопоставление каждой точке поверхности точки плоскости. Если точка поверхности задана координатами (хг, х%) на поверхности, а точка плоскости координатами (yv у2) на плоскости, то отображение задается парой функций уг = = /i (#i, хг), у2 - /2 (1? хг)- Отображение называется глад-кип, если эти функции гладкие (т. е. дифференцируемые доохсточное число раз, например многочлены).

Отображения гладких поверхностей на плоскость окружают нас со всех сторон. Действительно, большинство окружающих нас тел ограничено гладкими поверхностя-



ми. Видимые контуры тел - это проекции ограничивающих тела поверхностей на сетчатку глаза. Приглядываясь к окружающим нас телам, например к лицам людей, мы можем изучить особенности видимых контуров.

Уитни заметил, что в случаях «общего положения» *) встречаются особенности лишь двух видов. Все другие особенности разрушаются при малом шевелении тел или направлений проектирования, в то время как особенности этих двух видов устойчивы и сохраняются при малых деформациях отображения.

, Примером особенности первого вида - она названа складкой Уитни - является особенность, возникающая при проектировании сферы на плоскость в точках экватора рис. 1). В подходящих координатах это отображение

задается формулами у1 = х\, у2 = х2. Проектирования поверхностей гладких тел на сетчатку в общих точках имеют именно такую особенность, и тут нет ничего удивительного. Удивительно то, что кроме этой особенности (складки) мы всюду встречаем еще ровно одну особенность, но практически никогда ее не замечаем.

Эта вторая особенность названа сборкой Уитни, и получается она при проектировании на плоскость поверхности, изображенной на рис. 2. Эта поверхность задана формулой г/, - xl + хгх2 в пространстве с координатами (хх, х2, ух) и проектируется на горизонтальную плоскость (х2, Ух).

*) То есть для всех случаев, кроме некоторых исключительных.

Рис. 1. Складка проектирования сферы на плоскость

Рис. 2. Сборка проектирования поверхности на плоскость

[Старт] [ 1 ] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33]