назад Оглавление вперед


[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [ 35 ] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86]


35

темы могут быть приняты цена акции и сила плавающего предложения (соответственно, хи у). В качестве внешних или управляющих параметров могут быть приняты внешние условия ведения бизнеса и спрос на бумагу.

Резкое окончание восходящего тренда, разворот и последующее сокрушительное падение, как это изображено, например, на рис. 21.2 и 21.3, могут быть описаны с точки зрения теории катастроф и потери устойчивости. Доказано [Андронов, 1956], что при изменении какого-либо одного управляющего параметра существуют всего два способа потери устойчивости:

I.Мягкая потеря устойчивости. Для нее характерен переход в колебательный режим, при котором внутренние параметры колеблются вокруг состояния равновесия. В Системе наблюдаются непериодические колебания, чувствительные к малым возмущениям. Амплитуда колебаний относительно состояния неустойчивого равновесия нарастает. Движения становятся хаотическими и продолжаются до тех пор, пока система не перейдет в одно из двух, возможно тоже неустойчивых, состояний.

2.Жесткая потеря устойчивости. Случайные возмущения скачком переводят Систему из области притяжения некоего стационарного установившегося режима на иной режим движения.

Жесткой потере устойчивости часто предшествует мягкая потеря устойчивости. Это происходит в случае, когда переходный режим затягивается, а затем Система переходит в состояние, которое тоже оказывается неустойчивым.

Вернемся к рис. 21.1, на котором представлен дневной график котировок обыкновенных акций ОАО «Ростелеком» в период, когда цена находилась в тренде. Для этого режима движения характерно наличие линии притяжения котировок (аттрактора). В своем движении цены на время отклоняются от нее вверх или вниз и вновь возвращаются к линии 1-1. При приближении к вершине сопротивление возрастает, и амплитуда колебаний относительно линии тренда увеличивается. Движение тормозится на неустойчивом уровне, соответствующем цене Р ~ 47, в которой сходятся линии спроса и предложения. Этот уровень неустойчив. В окрестности его прослеживаются два других уровня: уровень поддержки 44 и уровень сопротивления 50. Котировки с высокой вероятностью должны были прийти на один из них. В рассматриваемом случае цены преодолели линию спроса и откатились на нижний рубеж. Однако уровень 44 оказался неустойчивым, и цены немедленно его покинули, снизившись за три торговых дня на 14% - до 38 руб. за бумагу. Таким образом, за мягкой потерей устойчивости, сопровождавшейся

повышением волатильности движения, последовала жесткая потеря устойчивости.

Эти особенности смены режимов движения цены еще лучше видны на недельных графиках. Вернемся к уже рассмотренной нами динамике изменений рыночной стоимости бумаг корпорации Intel Inc. (см. рис. 21.3). Участки роста 1, 2 и 3 имеют ярко выраженный трендовый характер. Последнему сильному движению 3 сопутствовала очень высокая волатильность торгов. Игроки, торгующие вдоль таких трендов, хорошо знают, насколько трудно войти и удержать длинные позиции. Далее режим 3 сменился движением в игровом диапазоне 60-70 в окрестности уровня 65. Через некоторое время цены пробили линию спроса и спустились на уровень поддержки 60. Этот уровень оказался абсолютно неустойчивым. Катастрофическое однодневное падение цены состоялось именно с этого рубежа. Сходство сценариев очевидно. Времени подумать над происходящим и своевременно закрыть длинные позиции у игроков было более чем достаточно, даже после того как цены покинули сходящийся треугольник (ср. рис. 21.3 и 21.4).

К жесткой потере устойчивости надо относиться более чем внимательно. Если она однажды произошла, то, согласно общей теории бифуркаций равновесных состояний, Система в подавляющем большинстве случаев будет эволюционировать в ту сторону, куда произошел переход Системы. Примером тому служит дальнейшее поведение цены акций корпорации Intel Inc. в период после обвала 2000 г. Динамика котировок этих бумаг в 2001-2002 гг. сопровождалось дальнейшим развитием нисходящего движения и целой серией скачков вниз.

Можно привести еще массу примеров из фондовой практики, когда за первым сокрушительным обвалом котировок шло дальнейшее их снижение и серия новых обвалов, иногда с фатальными для корпорации последствиями в виде делистинга и банкротства. Наоборот, если Системе удастся скачком перейти из устойчивого «плохого» состояния в «хорошее», то в дальнейшем она будет сама собой эволюционировать в сторону улучшения. В качестве примера перехода из «плохого» состояния в более «лучшее» можно привести качественные скачки, которые происходят с корпорацией при изменении ее статуса с закрытого на публичный, а также при первом публичном размещении ее акций. Известно, что многие «слабые» корпорации, прошедшие через процедуру публичного размещения акций, сумели существенно укрепить свои позиции. Приведенные соображения относительно качественного скачка в положительную сторону касаются лишь «слаборазвитых» Систем, к како-



вым часто относятся молодые корпорации, ищущие возможности выхода на новые рынки и превращения в публичные компании. Это не относится к «старым», уже «развитым» системам. «Развитой» системе, в силу ее устойчивости, перейти в лучшее состояние без предварительного ухудшения почти невозможно [Арнольд, 1990]. В условиях конкурентной борьбы неизбежно наступает момент, когда возможности роста крупной корпорации оказываются исчерпанными, а для дальнейшего развития требуется существенная реорганизация. Этот процесс связан с дополнительными издержками, которые отрицательно отражаются на динамике годовой доходности. Понятно, что рыночная цена корпорации при этом падает. Попытки же сохранить старые формы бизнеса и менеджмента грозят еще большей катастрофой. Эти тривиальные соображения, которые следуют из теории бифуркаций, очень хорошо подтверждаются на практике как для отдельной корпорации, так и для экономики страны в целом.

Вернемся от качественных соображений и выводов к применению теории катастроф для описания скачкообразных изменений в Системе.

Сначала рассмотрим абстрактную задачу. Многочисленные бифуркации и скачки возникают во всех задачах о нахождении экстремумов функций нескольких переменных и связанных с ними задач управления и принятия оптимальных решений. В основе современной теории катастроф лежит анализ особенностей гладких отображений Уитни [Whitney, 1955]. Суть подхода Уитни проще всего понять на примере отображения точек плоскости (х, у) на плоскость (и, v). Это отображение задается гладкими функциями и = м(х, у) и v = v(х, у) и имеет особенности в том случае, когда двум или нескольким различным точкам плоскости (х, у) соответствует одна и та же точка (образ) на плоскости (и, v). Таким образом, если преобразование и = и(х, у) и v = гп[х, у) сводит в один образ две или несколько точек прообразов, то оно называется преобразованием или отображением с особенностями. Из всех возможных типов особенностей нас будет интересовать два, называемые складками и сборками. Как показал Уитни, именно эти особенности являются устойчивыми, и к ним могут быть приведены все прочие особенности при малых деформациях отображения и = и(х, у) и v = v(х, у).

Тривиальной особенностью является складка. Суть ее передает поверхность, имеющая деформацию, похожую на складку на рукаве костюма или на складки гофрированной юбки. Нетривиальной особенностью является сборка. Ей соответствует образ поверхности в пространстве (х, и, v), задаваемый отображением:

и = у; v = х* + ху.

Данное отображение и будем называть отображением сборки или сборкой Уитни. Соответственно поверхность, определяемая этими формулами, называется поверхностью Уитни. На построенной таким образом поверхности существуют образования, которые можно получить, развлекаясь со сборкой складок на рукаве своей одежды. Наличие таких складок объясняет, каким образом одной и той же точке плоскости (м, v) может соответствовать несколько точек поверхности Уитни. В частности, из топологии поверхности, определенной вышеприведенными формулами, следует, что возможны только три варианта соответствия:

1) одной точке (и, v) соответствует одна точка поверхности Уитни (взаимнооднозначное соответствие);

2) одной точке (и, v) соответствуют три точки поверхности (складка);

3) одной точке на плоскости (и, v) соответствуют две точки на поверхности Уитни.

Последние точки на плоскости (и, v) собираются в линию и разделяют две предыдущие зоны между собой. Математически эта линия является полукубической параболой и называется линией катастроф g. Она может быть задана следующим параметрическим уравнением:

u=-3f;v = 2p\

где р- параметр, придавая которому разные значения, можно получить координаты точек линии катастроф gHa плоскости (и, v). Вид этой кривой показан на рис. 21.5.

1 В2

Рис. 21.5. Линия катастроф gva. плоскости управляющих параметров (и, v). Устойчивость системы и возникновение катастроф зависят от расположения кривой, по которой изменяются управляющие параметры, а также от направления обхода точки возврата G при пересечении участков gv g.



ЧАСТЬ III ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕННЫХ БУМАГ ъшяжпжжж.

Каждая точка заштрихованной области внутренней части линии катастроф имеет по три прообраза на плоскости (х, у) - три точки на поверхности Уитни. Каждая точка внешней области линии катастроф gимеет строго по одному образу на плоскости (х, у). Самой линии, состоящей из участков gv gy отвечают два прообраза.

Таким образом, область значений управляющих параметров делится на три части: внешняя, внутренняя и граница этих областей - линия катастроф g. Понять смысл этой линии достаточно просто. При любом изменении управляющих параметров во внешней части этой линии Система всегда будет находиться в устойчивом состоянии. Это означает, что при изменениях параметров по пути, целиком пролегающем во внешней зоне, внутренние параметры Системы будут изменяться плавно, без всяких скачков. Пример такого пути показан на рис. 21.5 линией 5-6.

Другое дело, если в процессе изменения управляющих параметров происходит пересечение линии катастроф g. В этом случае при попадании на точки линии катастроф нарушается взаимнооднозначное соответствие между управляющими и внутренними параметрами. Одним и тем же внешним параметрам могут соответствовать несколько различных внутренних параметров, т.е. несколько равновесных состояний Системы. Одни из них являются устойчивыми, а другие - неустойчивыми. Если Система находится в устойчивом состоянии, как, например, на пути 1-2 при пересечении линии g или на пути 3-4 при пересечении линии gv то катастрофы в точках пересечения линии g можно не опасаться. Напротив, при приближении к линии бифуркации g вдоль кривой 1-2 Система подходит к точке 2 в состоянии, которое является неустойчивым. Аналогично при движении по кривой 3-4 к линии g.

Поскольку состояния, в которых Система подходит к данным точкам, являются неустойчивыми, при малых возмущениях происходит «катастрофичный» переход Системы в новые равновесные состояния. Процессы, происходящие в точках 2 и 4, сильно напоминают сход снежной лавины. Характерное потрескивание, похрустывание и затем - обрушение со стремительно нарастающей скоростью. Система в таких точках переходит из одного состояния в другое и назад тем же путем не возвращается.

Итак, при пересечении линии катастроф возникает бифуркация состояния равновесия Системы в процессе изменения внешних условий. При этом скачок из одного состояния в другое может происходить, а может и не происходить. Последнее зависит от устойчивости текущего состояния Системы при пересечении линии катастроф g. А это, в свою очередь, определяется путем, вдоль которого

ГЛАВА 21 Тренды, потеря устойчивости и теория катастроф

изменялись параметры (и, v), а точнее, от направления обхода кривой (u(t), v(t)) точки ветвления G, в которой сливаются все три прообраза.

Отображение Уитни лежит в основе большинства приложений теории катастроф. Например, в теории упругости зависимость предельной нагрузки от эксцентричности точки ее приложения имеет аналогичную полукубическую особенность. В.И. Арнольдом [Арнольд, 1990] разработана классификация критических точек гладких функций, которая в точности совпадает с классификацией таких объектов, как группы симметрии правильных многогранников, простых особенностей каустик и волновых фронтов. Известно, что наблюдаемые свойства одних систем часто соответствуют неочевидным свойствам объектов совершенно иной природы. Неудивительно, что после создания методологии теории катастроф были предприняты попытки применить ее к экономической науке. Однако до сих пор удовлетворительной количественной модели эволюции управляемых экономических систем и объектов, насколько нам известно, не существует. Тем не менее и без такого рода спекуляций математические модели катастроф и детально разработанная теория бифуркации указывают на некоторые общие черты, сопровождающие скачкообразные изменения установившихся режимов.

Рассмотрим некоторые выводы описанной выше модели применительно к динамике изменения рыночной цены, отражающей развитие бизнеса отдельной корпорации.

Очевидно, что цена акций корпорации (или рыночная капитализация) зависит от нескольких параметров. По крайней мере от двух - внешних условий ведения бизнеса и и степени развитости плавающего предложения v, характеризующей способность корпорации привлекать и использовать сторонние инвестиции. Сила плавающего предложения зависит от перспектив бизнеса, менеджмента, количества выпущенных в обращение акций и временами коррелирует с динамикой годовой доходности бумаг корпорации. Иными словами, рыночная цена отражает не только качество самой корпорации, но и целый ряд взаимоотношений ее собственного бизнеса и бизнеса других, не обязательно конкурирующих с ней компаний. Наличие нескольких внутренних и внешних параметров, как уже было отмечено, существенно для возникновения бифуркаций. Из внешних условий, влияющих на цену акций и капитализацию х, можно выделить общие рыночные условия и конкурентную борьбу внутри экономического сектора и, а также плавающее предложение v.

[Старт] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [ 35 ] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86]